Zoek een patroon | Wiskunde is leuk

Soms is het erg nuttig om een verband te zoeken tussen de data in de opgave. Kan je een bepaald patroon terugvinden? Dit kan je op weg helpen om de oplossing te vinden van je probleem.

Een voorbeeld: $f(x)$ is een veelterm is van graad 4 waarbij de coëfficiënt van $x^4$ gelijk is aan 1. Bovendien is $f(-1)=-1$ , $f(2)=-4$ , $f(-3)=-9$ en $f(4)=-16$ . Bereken $f(1)$

We weten dat $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ . Uit de 4 gegevens kunnen we, via het oplossen van een stelsel, de 4 onbekenden $a,b,c$ en $d$ vinden. Eigenlijk is dat zelfs niet nodig, want we moeten enkel $f(1)$ berekenen. Maar gelukkig zien we een patroon opduiken: $-1,2,-3$ en $4$ zijn allemaal nulwaarden van de veelterm $g(x)=f(x)+x^2$ . Omdat $f(x)$ en dus ook $g(x)$ van de vierde graad is, moet $g(x)=(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)$ . Bijgevolg is $f(1)=g(1)-1^2=23$ .