Veeltermen die priemgetallen uitspuwen

Neem de veelterm $2x^2+29$ , en bereken de getalwaarde voor alle natuurlijke getallen tot en met 28. Je krijgt de volgende rij van getallen : 29,31,37,47,…,1597. Dit zijn allemaal priemgetallen. Vullen we 29 in dan krijgen we natuurlijk een getal dat deelbaar is door 29 en dus niet priem is.

De veelterm $x^2+x+17$ , ingevuld voor alle natuurlijke getallen tot en met 15, geeft ook allemaal priemgetallen. De bekendste veelterm is zeker deze van Euler: $x^2-x+41$ die voor alle natuurlijke getallen tot en met 40 priemgetallen geeft. Nog beter doet de veelterm $x^2-79x+1601$ die voor alle natuurlijke getallen tot en met 79 priemgetallen uitspuwt.

Het is wel duidelijk dat er geen niet-constante veelterm bestaat die alle priemgetallen voortbrengt. Dit kan je zelfs bewijzen:
Stel dat $A(x)$ een niet-constante veelterm is die voor elk natuurlijk getal een priemgetal voortbrengt. Neem $a \in \mathbb{N}$ dan is $A(a)=p$ met p een priemgetal. Maar dan is $A(a+p)\equiv 0 \text{ mod } p$ en omdat ook $A(a+p)$ een priemgetal moet zijn is $A(a+p)=p$ . We kunnen dit herhalen voor de natuurlijke getallen $a+kp$ en vinden dat $\forall k \in \mathbb{N}: A(a+kp)=p$ . Bijgevolg heeft de veelterm $A(x)-p$ oneindig veel nulwaarden en is die veelterm dus constant, wat tegen het gegeven is. Er bestaat dus geen niet-constante veelterm die alleen maar priemgetallen voortbrengt.