Wiskunde is leuk

Uitdaging 1 en 2

Geplaatst op 1 juni 2019 door admin

Wat is de som der coëfficiënten van $(3x^2-3x+1)^{200}.(x^2+x-3)^{2020}$ .

Antwoord

Zeker niet uitrekenen!
Probeer een eenvoudig voorbeeld: $(x+2)^2$ . Uitgewerkt is dit $x^2+4x+4$ . Als we x vervangen door 1 krijgen we de gevraagde som 1 + 4 + 4 = 9.
Vervang dus x door 1 voor het uitrekenen en we vinden dat voor onze opgave de gewenste som gelijk is aan $(3-3+1) ^{200}.(1+1-3)^{2020}=1$ .

Toon aan dat $\sqrt[n]{7}$ irrationaal is voor elk natuurlijk getal n groter dan 1

Antwoord

$\sqrt[n]{7}$ is een oplossing van de vergelijking $x^n-7=0$ .
Als $\frac{p}{q}$ een rationale oplossing zou zijn van deze vergelijking moet p een deler zijn van 7 en q een deler van de coëfficiënt van $x^n$ , dus 1.
De enige mogelijkheden zijn $\pm1,\pm 7$ en geen van deze 4 is een goede oplossing.
Er zijn dus geen rationale oplossingen bijgevolg is $\sqrt[n]{7}$ steeds irrationaal.