Tag archieven: zwaartelijn

Stelling van Stewart

Geplaatst op door

Onlangs vond ik op Facebook volgende opgave:

Matthew Stewart (1717-1785), een Schots wiskundige, publiceerde in 1746 een stelling waarmee je dit eenvoudig kan oplossen. De stelling berekent de lengte van een hoektransversaal  d=|CM| in een driehoek:

    \[cd^2=xa^2+yb^2-cxy\]

Het bewijs ervan is eerder eenvoudig: gebruik 2 keer de cosinus regel om resp a^2 en b^2 te berekenen.

Voor die hoektransversaal kan men speciale ‘lijnen’ in de driehoek kiezen:

  • Als d de zwaartelijn is uit C, dan herleidt de formule zich tot

        \[d^2=\frac{1}{2}(a^2+b^2-\frac{1}{2}c^2)\]

    De gegeven opgave van Facebook heeft dan als oplossing x=1.
  • Als d de bissectrice is uit C, dan krijgen we

        \[d^2=ab-xy\]

    Het bewijs steunt op de bissectrice stelling x:y=b:a

 

Dit pareltje uit de vlakke meetkunde  wordt ook wel de stelling van Apollonius genoemd. Maar Apollonius van Perga formuleerde de stelling enkel voor x=y, dus het geval dat de hoektransversaal de zwaartelijn is.

 

Nootje 18

Geplaatst op door

Bereken de oppervlakte van een rechthoekige driehoek in functie van de bissectrice en zwaartelijn betrokken uit de rechte hoek.

Antwoord

 

  • Noem de oppervlakte A en de rechthoekszijden  van de rechthoekige driehoek a en b. Noteer met x de lengte van de bissectrice uit A en met y de lengte van de zwaartelijn uit A.
  • Dan is A de som van de oppervlaktes van ABE en AEC, dus A=\frac{1}{2}ax \sin 45^\circ+\frac{1}{2}bx \sin 45^\circ.
  • Hieruit volgt dat A=\frac{\sqrt{2}}{4}(a+b)x.
  • Kwadrateren geeft :  A^2=\frac{2}{16}(a^2+b^2+2ab).
  • Volgens Pythagoras is a^2+b^2= c^2, met c de schuine zijde. Maar de zwaartelijn getrokken naar de schuine zijde is gelijk aan de helft van die schuine zijde. Dus c=2y.
  • Verder is ab gelijk aan het dubbele van de oppervlakte van de driehoek, dus ab=2A.
  • Ingevuld : A^2=\frac{1}{8}(4y^2+4A).
  • Vereenvoudigd: A^2=\frac{1}{2}x^2y^2+\frac{1}{2}x^2A.
  • Hieruit kan je A oplossen:

        \[A=\frac{x^2+x\sqrt{x^2+8y^2}}{4}\]

 

Lengte zwaartelijn en bissectrice

Geplaatst op door

Om de lengte van een zwaartelijn te berekenen, gebruiken  we de cosinusregel in de driehoeken ABD en ACD voor b^2 en c^2. Optellen van de formules geeft:

    \[4z_a^2=2b^2+2c^2-a^2\]

Als a\geq b\geq c dan is z_a \leq z_b\leq z_c. Want 4(z_a^2-z_b^2)=3(b^2-a^2). Dus bij de langste zijde hoort de kortste zwaartelijn.

Het berekenen van de lengte van een bissectrice is heel wat lastiger. Noteer c=|BD| en y=|DC|.

Een bissectrice in een driehoek verdeelt de overstaande zijde in de verhouding van de aanliggende zijdes, dus x:y=c:b. Volgens de eigenschappen van evenredigheden volgt hieruit dat (x+y):y=(c+b):b of y=\frac{ab}{b+c} en analoog x=\frac{ac}{b+c}. Teken nu een punt E zodat de hoek ACE gelijk is aan de hoek ADB. Uit de gelijkvormigheid van de driehoeken ACE en ADB volgt dat |AE|.d_a=bc en uit de gelijkvormigheid van de driehoeken DEC en ABD volgt dat |DE|.d_a=xy. Door die twee formules van elkaar af te trekken vinden we dat:

    \[d_a^2=bc-\frac{a^2bc}{(b+c)^2}\]

Net zoals bij de zwaartelijnen kunnen we besluiten dat bij de langste zijde de kortste bissectrice hoort.

Door gebruik te maken van deze formules kan je door algebraïsche berekeningen meetkundige eigenschappen bewijzen, zoals bijvoorbeeld: De langste bissectrice is minstens even lang als de kortste zwaartelijn. Als a\geq b\geq c dan komt dit neer op d_c \geq z_a.