Tag archieven: zeshoek

Opgave 40

Geplaatst op door

Een convexe zeshoek is ingeschreven in een cirkel met straal r. Twee zijden van deze zeshoek hebben als lengte 7 eenheden , terwijl de vier overige als lengte 20 eenheden hebben. Bepaal de straal van de cirkel.

Antwoord

  • Wat de volgorde van de zijden is, steeds moet minstens aan één zijde met lengte 7 een zijde met lengte 20 aanliggend zijn. Noem de middelpuntshoek tegenover de zijde met lengte 20  eenheden 2a en de middelpuntshoek tegenover de zijde met lengte 7 eenheden 2b.
  • Door het apothema te trekken op de zijden van de zeshoek vinden we dat \sin a=\frac{10}{r} en \sin b=\frac{3,5}{3}.
  • De som van alle middelpuntshoeken is 360^\circ, dus 2*2b+4*2a=360^\circ. Hieruit volgt dat b+2a=90^\circ.
  • Dan geldt er dat \sin b=\cos 2a=1-2\sin^2 a
  • Volgens een vorig punt is dus 1-2\sin^2 a=\frac{3,5}{r}. Of

        \[1-2\Big(\frac{10}{r}\Big)^2=\frac{3,5}{r}\]

  • Dit geeft een vierkantsvergelijking: 2r^2-7r-400=0
  • De enige positieve oplossing van deze vergelijking is 16.
  • De straal is 16 eenheden lang.

Sangaku 6

Geplaatst op door

Antwoord

  • We zien een regelmatige zeshoek. Veronderstel dat de lengte van een zijde gelijk is aan 1. Zoek de afstand van A tot H.
  • We berekenen eerst |AF| door gebruik te maken van de cosinusregel in driehoek AGF ( gelijkbenige driehoek met opstaande zijden gelijk aan 1 en een tophoek van 120^\circ. We vinden : |AF|=\sqrt{3}.
  • We berekenen  nu |FH| in driehoek FEH. weer de cosinusregel : 1^2=x^2+x^2-2x^2\cos 120^÷circ.  Hieruit volgt: |AF|=\frac{1}{\sqrt{3}}.
  • Tenslotte berekenen we |AH| in driehoek AHF. Cosinusregel met zijden \sqrt{3} en \frac{1}{\sqrt{3}} en ingesloten hoek 60^\circ. Dit geeft: |AH|=\sqrt{\frac{7}{3}}.

Pi met wortels

Geplaatst op door

Hoe kan je pi benaderen door middel van wortels? Bekijk volgende  mogelijkheid: de oppervlakte van een cirkel met straal 1 benaderen we door het gemiddelde te nemen van de oppervlaktes van een ingeschreven regelmatige achthoek en een omgeschreven regelmatige zeshoek.

  • Neem een omgeschreven zeshoek :
    om de oppervlakte te berekenen nemen we zes keer de oppervlakte van OAB. De hoogte OM van die driehoek is 1. De basis AB is 2*\tan 30^\circ=\frac{2\sqrt{3}}{3}. Bijgevolg is de oppervlakte van de zeshoek gelijk aan 2\sqrt{3}.
  • Neem vervolgens een ingeschreven regelmatige achthoek:
    de oppervlakte is gelijk aan acht keer de oppervlakte van driehoek OAB. De oppervlakte van die driehoek is gelijk aan \frac{1}{2}*1*1*\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{4}, zodat de oppervlakte van de achthoek gelijk is aan 2\sqrt{2}.
  • Het gemiddelde van die twee oppervlaktes is dan \sqrt{2}+\sqrt{3}.
  • Aldus is \pi \approx \sqrt{2}+\sqrt{3}\approx 3.14626436994