Tag archieven: wiskundig raadsel

Verwarring

Geplaatst op door

Drie vrienden zitten op een terrasje en de ober brengt de rekening van 30 euro. Ze geven elk 10 Euro. De ober brengt het geld naar zijn baas, maar die ziet dat er een vergissing is gebeurd. Er is 5 Euro te veel gevraagd en hij zegt aan de ober het geld terug te geven aan de 3 vrienden. De ober steekt echter 2  Euro in zijn zak en geeft elk van de 3 vrienden 1 Euro terug.

Raar, want ze hebben nu elk 9 Euro betaald en samen met de 2 Euro die de ober op zak stak kom je uit op 3×9+2 = 29 Euro. Waar is de laatste Euro naar toe?

Spoiler

Het is onzin te veronderstellen dat er een Euro zoek is. Waarom zou je de 27 Euro en de 2 Euro op  tellen? De drie vrienden betaalden 27 Euro . De ober kreeg daar 2 Euro ( gestolen ) van en de baas 25 Euro!

 

Hoe oud?

Geplaatst op door

Lies zegt aan Veerle dat ze nu drie opgroeiende kinderen heeft waarvan het product van hun leeftijden 72 . De som is haar huisnummer . Veerle kan het antwoord toch niet geven tot Lies eraan toevoegt dat haar oudste kind graag naar Pink Floyd luistert. Hoe oud zijn de kinderen?

  • Veerle zoekt alle ontbindingen van 72 = 2^3.3^2 in 3 factoren. Omdat de som Veerle geen informatie geeft moet die som 14  zijn omdat dit twee keer voorkomt als som: 14 = 2 + 6 +6 = 3 + 3 +8 .
  • 2,6 en 6  kan  niet omdat er dan geen oudste kind is.
  • Dus de kinderen zijn 3 , 3  en 8 jaar oud.

Taart snijden

Geplaatst op door

Hoe moet je een taart snijden zodat je 1,2,3,…, n personen een even groot stukje kan aanbieden?

We zoeken naar het kleinst aantal taartdelen dat je nodig hebt om elk aantal personen kleiner of gelijk aan n een even groot stuk taart te geven.

Voor n = 2 verdeel je de taart gewoon in de helft. Zijn er 2 personen (jezelf inbegrepen) op het feestje dan geef je elk 1 stuk. Ben je alleen dan neem je gewoon de hele taart.

Voor n = 3 kan de de taart in zes gelijke stukken verdelen. Als er twee personen zijn op het feestje dan geef je elk 3 stukken. Zijn er 3 personen aanwezig geef je elk 2 stukken. Maar kan je het niet doen met minder stukken?  Als je de taart verdeelt in \dfrac{1}{6},\dfrac{1}{6},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3} heb je maar 4 stukken nodig. Zijn er 2 personen op het feest dan geef je  een stuk \dfrac{1}{3} en een stuk \dfrac{1}{6}. Zijn er 3 personen dan geef je elk 2 stukjes \dfrac{1}{6}.

Voor n = 4 heb je maar  6 stukken nodig.Deze hebben een grootte van \dfrac{1}{12},\dfrac{1}{12},\dfrac{1}{6},\dfrac{1}{6},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{4}. Bij 2 personen geef je elk \dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{4}. Met 3 personen geef je twee keer \dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{4} en 1 keer \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}. Met 4 personen geef je twee keer \dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{6} en 2 keer \dfrac{1}{4}.

Voor n = 5 moet je de taart in minimaal 9 stukjes verdelen om hem daarna eerlijk te kunnen verdelen. De grootte is:\dfrac{1}{60},\dfrac{1}{30},\dfrac{1}{20},\dfrac{1}{12},\dfrac{7}{60},\dfrac{2}{15},\dfrac{1}{6},\dfrac{1}{5},\dfrac{1}{5}.
n=2: \dfrac{1}{60}+\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{7}{60}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{2}{15}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{5}
n=3: \dfrac{1}{60}+\dfrac{7}{60}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{15}+\dfrac{1}{5}
n=4: \dfrac{1}{60}+\dfrac{1}{30}\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{7}{60}+\dfrac{2}{15}
n=5: \dfrac{1}{60}+\dfrac{1}{20}+\dfrac{2}{15}=\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{12}+\dfrac{7}{60}=\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{5}

Voor n=6 heb je 11 stukjes nodig met grootte \dfrac{1}{60},\dfrac{1}{30},\dfrac{1}{20},\dfrac{1}{15},\dfrac{1}{12},\dfrac{1}{12},\dfrac{1}{10},\dfrac{7}{60},\dfrac{2}{15},\dfrac{3}{20} en \dfrac{1}{6}.

Het probleem wordt steeds moeilijker. Voor n = 7 heb je 14 stukken nodig, voor n = 8 heb je 16 stukken nodig. Tot nu toe heeft niemand kunnen uitrekenen wat het kleinst aantal taartdelen is als n groter is dan 8.

Hoeden raadsel

Geplaatst op door

Drie personen A,B en C zitten in een donkere kamer. Er liggen daar ook 3 zwarte en 2 witte hoeden. Zonder ze te zien, zet iedereen één hoed op zijn hoofd. Ze gaan op een rijtje naar buiten, zodat C ziet welke hoed A en B op heeft. Persoon B ziet welke hoed A op heeft. A ziet niets. Dan zegt C: ik weet niet welke hoed ik op heb. B, die dat gehoord heeft, zegt : ik weet ook niet welke hoed ik op heb. Nu zegt A triomfantelijk: ik weet dat wel! Welke hoed heeft A op en waarom?

Antwoord

  • Als C niet weet welke hoed B en A op hebben, dan kunnen dit zeker geen twee witte hoeden zijn. Want anders zou hij weten dat hijzelf een zwarte hoed moest hebben.
  • Als A nu een witte hoed zou hebben, dan weet B dat hij zeker geen witte hoed kan hebben, want anders zouden A en B twee witte hoeden hebben, wat volgens vorig pountje niet kan.
  • Dus heeft A een zwarte hoed op!