Vaak bestaat een probleem erin aan te tonen dat een bepaalde eigenschap geldt voor elk natuurlijk getal. Hiervoor gebruiken we het principe van de volledige inductie

Basisstap: Men bewijst $P(1)$
Inductiehypothese: Men bewijst voor elke $k$ dat als $P(k)$ geldt, dan ook $P(k+1)$ geldt.

Er bestaat ook een andere vorm, die we de sterke inductie noemen:

Basisstap: Men bewijst $P(1)$ .
Inductiehypothese: Men bewijst voor elke $k$ dat als $P(1),P(2),\ldots,P(k)$ gelden, dan ook $P(k+1)$ geldt.

Voor elk natuurlijk getal $n$ geldt :

$1^2+2^2+\ldots+n^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

De geldigheid van de formule voor $n=1$ is duidelijk, want $1^2=\frac{1}{6}.1.(1+1)(2+1)$ . Dit is de basisstap.
De inductiehypothese : stel dat de formule ook geldt voor $n=k$ . Dan is:
$\begin{align*}1^2+2^2+\ldots+k^2+(k+1)^2=&(1^2+2^2+\ldots+k^2)+(k+1)^2\\=& \frac{1}{6}k(k+1)(2k+1)+(k+1)^2\\=&\frac{1}{6}(k+1)(2k^2+7k+6)\\=&\frac{1}{6}(k+1)(k+2)(2k+3) \end{align*}$

en dit is precies de formule voor $n=k+1$