Tag archieven: vierkant

Perfecte vierkanten

Geplaatst op door

Een perfect vierkant van orde n is een vierkant dat opgedeeld is in n verschillende vierkanten waarvan geen twee vierkanten even groot zijn.
Het eerste perfecte vierkant werd in 1939 gevonden door Roland Sprague. Dit perfecte vierkant had orde 55. In de jaren daarop vond men nog meer perfecte vierkanten, ook van kleinere orde.

In 1962 begon de Nederlandse informaticus Adrianus Duijvestijn een zoektocht naar het perfecte vierkant met de laagste orde. Het duurde nog tot 1978 voordat computers snel en krachtig genoeg waren om dit probleem op te
lossen.

 

 

Het perfecte vierkant met de laagste orde wordt opgebouwd met 21 kleinere vierkantjes en heeft een zijde van 112.

Opgave 6

Geplaatst op door

Bereken de zijde van het vierkant als je volgende gegevens hebt :
Antwoord

  1. Je hebt 3 inlichtingen, dus als je 3 onbekenden kiest, kan je via een stelsel het probleem misschien oplossen.
  3. Via Pythagoras kunnen we volgende drie vergelijkingen opschrijven:
    x^2+y^2=9\\ y^2+(z-x)^2=25\\x^2+(z-y)^2=49
  4. Uitgerekend geeft dit :
    x^2+y^2=9\\x^2+y^2+z^2-2xz=25\\x^2+y^2+z^2-2yz=49
  5. Uit (1) en (2) volgt z^2-2xz=16 of x=\dfrac{z^2-16}{2z}
  6. Uit (1) en (3) volgt z^2-2yz=40 of y=\dfrac{z^2-40}{2z}
  7. Vullen we nu x en y in bij x^2+y^2=9, dan vinden we dat (z^2-58)(z^2-16)=0.
  8. Hieruit volgt dat de zijde van het vierkant gelijk is aan 4 of \sqrt{ 58}.  Het is duidelijk dat z=4 geen goede oplossing is.