Tag archieven: verwachtingswaarde

Dames in een kaartspel

Geplaatst op door

Schud een spel kaarten goed. Hoeveel kaarten van de top , gemiddeld genomen, kom je de eerste dame tegen?

  • We weten dat er 4 dames in het spel zijn. 
  • Wat ook de volgorde van de kaarten mag zijn, de dames verdelen het pak kaarten in 5 groepen: de kaarten voor de eerste dame, de kaarten tussen de eerste en tweede dame, enzovoort.
  • Het aantal kaarten in elk van die groepen varieert van 0 tot en met 48.
  • Noteer met X_i het aantal kaarten in de i-de groep. Dan geldt:

        \[0 \leq X_i \leq 48\]

     

        \[X_1+X_2+X_3+X_4+X_5=48\]

  • Elke X_i is een kansvariabele en omdat het pak kaarten goed geschud is, zal de kansverdeling van elke X_i dezelfde zijn.
  • Maar dan is 48=E(48)=E(X_1+X_2+X_3+X_4+X_5)=5E(X_1).
  • Bijgevolg is

        \[E(X_1)=\frac{48}{5}=9,6\]

  • Het verwacht aantal kaarten voor de eerste dame is dus gelijk aan 9,6.

Verwachtingswaarde

Geplaatst op door

Hoeveel keer moet je gemiddeld een eerlijk muntstuk opgooien om 5 keer na elkaar kop te krijgen?

Antwoord

  • Noteer met e de gezochte verwachtingswaarde van het aantal keer opgooien. We noteren K voor kop en M voor munt.
  • Stel dat je bij de eerste poging M gooit. Hiervoor heb je \frac{1}{2} kans. Dan heb je nog steeds geen enkele keer K gehad en dus moet je gemiddeld nog e+1 keer opgooien voordat je er bent. Die 1 komt van de poging die je al hebt ondernomen.
  • Heb je eerst K en dan M, en daartoe heb je \frac{1}{4} kans, dan moet je weer van vooraf aan beginnen en heb je gemiddeld e+2 pogingen nodig. De 2 staat er omdat je al 2 keer gegooid hebt( KM) en dan helemaal opnieuw moet beginnen. 
  • Werk zo verder de gevallen KKM ,KKKM,KKKKM en KKKKK af
  • Ga zo verder en dan krijg je volgende vergelijking :
    e=\frac{1}{2}(e+1)+\frac{1}{4}(e+2)+\frac{1}{8}(e+3)+\frac{1}{16}(e+4)+ \frac{1}{32}(e+5)+\frac{1}{32}.5
  • Oplossen van deze vergelijking geeft e=62.

Dobbelen voor goudstaven

Geplaatst op door

Je mag maximaal 5 keer werpen met een dobbelsteen. Je mag na elke beurt stoppen, en je krijgt het aantal ogen van de laatste worp uitbetaald in goudstaven. Vind een strategie waarmee je gemiddeld het meest aantal goudstaven wint.

 

 

 

 

 

 

 

 

Als je 1 gooit, is het duidelijk ongunstig om te stoppen. En als je een 6 gooit, dan kan je dat niet verder verbeteren en is het logisch dat je dan stopt. Maar wat doe je als je iets anders gooit? Een handige manier om daar achter te komen is het volgende: als je de eerste van je 5 worpen afkeurt en besluit verder te gaan om hogere ogen te gooien, kom je eigenlijk in een nieuw spel terecht : een spel met 4 worpen met dezelfde spelregels. Zo doorredenerend kom je uiteindelijk in een spel terecht waarvan je de strategie al kent: je mag één keer gooien en je enige optie is te stoppen.

Hoeveel goudstaven zou die ene keer gooien gemiddeld opleveren? Vermits elke waarde van de dobbelsteen even waarschijnlijk geworpen wordt is dat

    \[\frac{1}{6}(1+2+3+4+5+6)=3,5\]

. Deze informatie helpt je bij het vorige spel: het spel met 2 worpen. Je wilt beter doen dan het gemiddelde. Dus als de eerste worp beter is dan 3,5 dan stop je en anders ga je door. Je kan in je eerste worp 4,5 of 6 goudstaven winnen elk met kans \frac{1}{6}. In het andere geval ga je door en win je gemiddeld 3,5 goudstaven. De totale gemiddelde winst van dit spel met 2 worpen is dus

    \[\frac{1}{6}(4+5+6)+\frac{1}{2}.3,5=4,25.\]

Deze waarde kan je nu weer gebruiken in het spel met 3 worpen. Je stopt bij de eerste worp als je 5 of 6  (meer dan 4,25) gooit. anders ga je verder en stopt als je 4,5 of 6 gooit. Zo niet ga je nog 1 keer verder. De gemiddelde winst is nu:

    \[\frac{1}{6}(5+6)+\frac{4}{6}\frac{1}{6}(4+5+6)+\frac{1}{2}3.5=4,66\]

Verder redeneren geeft volgende strategie voor het 5 beurten spel: Bij de eerste drie keer gooien alleen stoppen als je 5 of 6 gooit, bij de vierde beurt als je 4,5 of 6 gooit en anders er een laatste beurt aan wagen.  Stel a=\frac{1}{6}(5+6) en b=\frac{1}{6}(4+5+6), dan is de gemiddelde winst:

    \[a+\frac{4}{6}a+\frac{4}{6}\frac{4}{6}a+\frac{4}{6}\frac{4}{6}\frac{4}{6}b+\frac{4}{6}\frac{4}{6}\frac{4}{6}\frac{1}{2}.3,5=5,12\]

Met de gegeven strategie verdien je uiteindelijk gemiddeld  5,12 goudstaven.

Giscorrectie

Geplaatst op door

Bij  een  test die bestaat uit meerkeuze vragen kent men gewoonlijk aan elk goed antwoord 1 punt toe en aan elk fout of blanco antwoord 0 punten.

 

Noemen we X de stochast die het aantal punten weergeeft bij het gissen van één vraag met 4 antwoord alternatieven ( waarvan er slecht 1 juist is).

De kansverdeling van X is \begin{array}{1|cc} x&0&1 \\ \hline P(X=x)&\frac{3}{4}&\frac{1}{4} \end{array}

Hieruit bekomen we de verwachtingswaarde E(x)= 0.\frac{3}{4}+1.\frac{1}{4}=0,25. Een student die blindelings gokt, heeft in dit evaluatiesysteem toch een positieve score. Om het gokken tegen te gaan zal men c punten aftrekken bij een fout antwoord. We bepalen de waarde van c zodat de student noch een positieve, noch een negatieve gemiddelde score zal hebben. Met andere woorden: E(x)=0.

De kansverdeling wordt nu: \begin{array}{1|cc} x&-c&1 \\ \hline P(X=x)&\frac{3}{4}&\frac{1}{4} \end{array} en dus is E(x)=0 \Longleftrightarrow -c.\frac{3}{4}+1.\frac{1}{4}=0 \Longleftrightarrow c=\frac{1}{3}. We trekken dus \frac{1}{3} punt af bij een fout antwoord.

We veralgemenen: bij vragen met n keuzemogelijkheden geven we dan 1 punt voor een goed antwoord en voor een blanco 0 punten. Voor een fout antwoord trekken we \frac{1}{n-1} punten af