Ik woon aan de kant van de even huisnummers in mijn straat. Als ik de huisnummers van de huizen links van mij optel en daarna die van rechts, dan zijn die twee sommen gelijk. Hoeveel huizen staan er aan de even kant in mijn straat en op welk nummer woon ik?

Veronderstel dat ik in het (k+1) ste huis woon, dan staan er k huizen links van mij, met nummers 2,4,6,…,2k. Dit zijn termen van een rekenkundige rij en dus kunnen we de som berekenen:

$S_l=\frac{1}{2}k.(2+2k)=k^2+k$

Als er n huizen staan in mijn straat, dan bevinden zich rechts van mij nog n-k-1 huizen, met nummer 2k+4,2k+6,…,2n. Ook hier hebben we een rekenkundige rij, dus :

$S_r=\dfrac{1}{2}(n-k-1)(2k+4+2n)=(n-k-1)(n+k+2)$

Nu moet $S_l=S_r$ . Dit geeft na uitwerking:

$2k^2+4k-(n^2+n-2)=0$

Dit is een Diophantische vergelijking. We zoeken naar gehele oplossingen . Bijgevolg moet $k=\dfrac{-4 \pm \sqrt{16+8(n^2+n-2)}}{4} \in \mathbb{Z}$ . Hieruit volgt:

$k=-1 \pm \sqrt{\frac{1}{2}(n^2+n)} \in \mathbb{Z}$

Daarom moet $n^2+n =2x^2$ met $x\in \mathbb{Z}$ . Dit valt te herschrijven als

$(2n+1)^2-8x^2=1$

Vergelijkingen van de vorm $x^2-Ay^2=1$ noemt men vergelijking van Pell. Dit type vergelijkingen is moeilijk op te lossen, maar we kunnen wel een aantal oplossingen ‘proberen’, omdat de straten bij ons niet zo lang zijn. Zo vinden we :

$\begin{array}{c|c|c} n&k+1&\text{huisnummer}\\ \hline \\ 1&1&2\\8&6&12\\49&35&70\\288&204&408 \end{array}$

De eerste oplossing is een beetje absurd: een straat met maar 1 huis. Bij de tweede oplossing telt de straat 8 huizen langs de even kant en woon ik in huisnummer 16. Links van mij heb je de nummers 2,4,6,8 en 10 met som 30 en rechts van mij de nummers 14 en 16, ook met som 30. De derde oplossing geeft een straat met 49 huizen en ik woon op nummer 70.

Begin 17de eeuw. Door de Renaissance was de belangstelling voor de Griekse en Alexandrijnse cultuur weer opgewekt. Ook de werken van de oude wiskundigen werden herontdekt en heruitgegeven. Zo gaf Bachet (1557-1638) de werken van Diophantus in het Grieks en het Latijn uit. Pierre de Fermat (1601-1665) bestudeerde dat boek en loste vele problemen eruit op. In februari 1657 schreef Fermat een brief naar zijn landgenoot Frenicle (1602-1675) waarin hij vroeg om de diophantische vergelijkingen $x^2-61y^2=1$ en $x^2-109y^2=1$ op te lossen.

Frenicle deed meer: hij slaagde erin de vergelijking $x^2-Ay^2=1$ op te lossen voor alle niet-kwadratische waarden van $A \leq 150$ . Beide Fransen voerden een drukke correspondentie met de Engelse wiskundigen Wallis (1616-1703) en diens medewerker Lord Brouncker (1620-1684). Voor de sport aanvaardden ze de uitdaging om de vergelijkingen $x^2-151y^2=1$ en $x^2-313y^2=1$ proberen op te lossen. Wallis en Brouncker probeerden te bewijzen dat de vergelijking $x^2-Ay^2=1$ , voor niet-kwadratische waarden van A, altijd oplossingen heeft. Hieronder een afbeelding van John Wallis en Lord Brouncker

Pell (1611-1685) heeft een uitgave en vertaling van een boek waarin de oplossing hiervan staat, verzorgd, en Euler (1707-1783) heeft hem, per vergissing, ten onrechte de verdienste van de oplossing toegekend en tevens Pells nam verbonden aan die vergelijkingen, zoals blijkt uit een brief aan Lagrange (1736-1813). Lagrange was niet tevreden met het bewijs van de oplosbaarheid, zoals dat gegeven werd door Wallis. In 1768 slaagde hij erin een sluitend bewijs te vinden.

Het vinden van een oplossing is echter zeer lastig. Voor de diophantische vergelijking $x^2-Ay^2=-1$ is er zelfs niet altijd een oplossing.

Wiskunde is leuk

Tag archieven: vergelijking van pell

Even huisnummers

Ik woon aan de kant van de even huisnummers in mijn straat. Als ik de huisnummers van de huizen links van mij optel en daarna die van rechts, dan zijn die twee sommen gelijk. Hoeveel huizen staan er aan de even kant in mijn straat en op welk nummer woon ik?

De vergelijking van Pell