Het lijkt paradoxaal, maar soms kan een probleem vereenvoudigd en dus meer handelbaar en verstaanbaar gemaakt worden door het te veralgemenen. Een meer algemenere formulering opent soms bredere perspectieven, laat de niet essentiële zaken weg en voorziet ons soms van een nieuw arsenaal van technieken.

Wat is het grootst:

$\sqrt[3]{60} \text{ of } 2+\sqrt[3]{7}$

De derde macht nemen van beide getallen lijkt erg ingewikkeld te worden.
Probeer het meer algemeen probleem op te lossen: Wat is het grootst: $A=\sqrt[3]{4(x+y)}$ of $B=\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}$ ? Hierbij zijn $x$ en $y$ positief. De opgave is dan het speciaal geval met $x=8$ en $y=7$ .
Stel $x=a^3$ en $y=b^3$ . Dan is $B^3=(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ . Verder is $A^3=4(a^3+b^3)$ .
Nu is $A^3-B^3=3(a^3+b^3-a^2b-ab^2)=(a-b)(a^2-b^2)=(a-b)^2(a+b)$ . Omdat $x$ en $y$ positief zijn, zijn ook $a$ en $b$ positief en is $A^3-B^3 >0$ . Hieruit volgt dat $A^3 > B^3$ en dus ook dat $A>B$ .
We besluiten dat $\sqrt[3]{60}$ groter is dan $2+\sqrt[3]{7}$ .

Wiskunde is leuk

Tag archieven: veralgemeen

Veralgemeen

Wat is het grootst:

$\sqrt[3]{60} \text{ of } 2+\sqrt[3]{7}$