Tag archieven: veeltermen

Opgave 7

Geplaatst op door

Toon aan dat volgende veeltermfunctie nooit de getalwaarde 33 aanneemt voor willekeurige gehele waarden van x en y.

    \[f(x)=x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5\]

Antwoord

  1. We moeten bewijzen dat de vergelijking

        \[x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5 =33\]

    geen oplossingen heeft voor gehele waarden van x en y. We stellen onmiddellijk vast dat x en y zeker verschillend van nul moeten zijn.

  2. Er bestaan  geen algemene methoden om een vijfde graads vergelijking op te lossen. We zouden  eventueel x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5 -33 kunnen proberen te ontbinden in factoren om zo bovenstaande vergelijking op te lossen. Maar dit lukt niet.
  3. Maar de uitdrukking x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5 kunnen we wel ontbinden als

        \[(x-2y)(x-y)(x+y)(x+2y)(x+3y)\]

  4. Het probleem wordt dus herleid tot : bewijs dat (x-2y)(x-y)(x+y)(x+2y)(x+3y)=33   geen oplossingen heeft voor gehele waarden van x en y.
  5. Nu  heeft 33 als delers \pm1, \pm 3,\pm 11,\pm 33. We kunnen 33 dus hoogstens schrijven als het product van 4 verschillende gehele getallen ( vier positieve ofwel 2 negatieve en 2 positieve). Omdat x en y geheel moeten zijn is het linkerlid van vorige vergelijking steeds het product van 5 verschillende gehele getallen.
  6. Bijgevolg heeft de vorige vergelijking geen oplossingen voor gehele waarden van x en y.