Uitdaging 3 en 4

We geven enkelen eigenschappen in verband met deelbaarheid bij veeltermen. Deze eigenschappen lijken op de deelbaarheidseigenschappen bij gehele getallen:

Voor twee veeltermen f(x) en g(x) bestaat er een uniek quotiënt q(x) en een unieke rest r(x) zodat f(x) = q(x) . g(x) + r(x) met gr(r(x)) < gr (g(x)).
De rest van de deling van f(x) door x – a is f(a). Deze eigenschap noemen we de reststelling. Dit levert meteen een criterium voor deelbaarheid door veeltermen van de vorm x – a: de veelterm f(x) is deelbaar door x – a als f(a) = 0.
Als a en b verschillend zijn dan is f(x) deelbaar door (x – a)(x – b) als f(a) = f(b) = 0.
De veelterm f(x) is deelbaar door $(x-a)^k$ als a een nulpunt is van f(x) en de eerste k – 1 afgeleiden van f(x). We spreken dan van een k- voudig nulpunt.
Er bestaan veeltermen die elkaar wederzijds delen, we noemen deze toegevoegde elementen. Zo zijn alle reële getallen verschillend van 0 toegevoegd aan 1. De elementen toegevoegd aan 1 noemen we eenheden. Het is duidelijk dat toegevoegde elementen slechts verschillen van een factor gelijk aan een eenheid.
Zijn f(x) en g(x) van nul verschillende veeltermen dan bestaat er onder de toegevoegde elementen van hun ggd (kgv) precies 1 waarvan de hoogste graadsterm coëfficiënt 1 heeft. Deze unieke veelterm wordt weleens dé ggd(kgv) van f(x) en g(x) genoemd.
Voor elk tweetal veeltermen f(x) en g(x) bestaan er veeltermen p(x) en q(x) zodat ggd( f(x) , g(x) ) = p(x) . f(x) + q(x) . g(x). Dit is de eigenschap van Bezout.
Een veelterm, verschillend van nul en van een eenheid, waarvan de enige delers eenheden of toegevoegde elementen zijn, noemen we een irreduciebele veelterm. Deze veeltermen zijn dus niet ontbindbaar is allemaal factoren van een lagere graad. De enige irreduciebele veeltermen in $\mathbb{R}\left[x \right]$ zijn de eerste graads veeltermen en de tweedegraads veeltermen met een negatieve discriminant.
Een veelterm f(x) , verschillend van nul en van een eenheid, is een priem veelterm als voor alle veeltermen g(x) en h(x) geldt dat uit f(x) | g(x).h(x) volgt dat f(x) | g(x) of f(x) | h(x). Voor reële veeltermen is priem veelterm een synoniem voor irreduciebele veelterm.
Elke van nul verschillende veelterm bezit een unieke ontbinding ( op toegevoegde elementen na).
Als $\frac{p}{q}$ een rationaal nulpunt is van een veelterm met gehele coëfficiënten dan deelt p de coëfficiënt $a_0$ en q deelt $a_n$ in $\mathbb{Z}$ .

Veeltermfuncties

Geplaatst op 25 april 2019 door admin

De veelterm $a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$ met coëfficiënten in een getallenverzameling K, kan voorgesteld worden door de rij van de coëfficiënten $(a_0,a_1,\cdots,a_n,0,0,\cdots)$ : een oneindige rij met een eindig aantal elementen verschillend van 0. Twee veeltermen zijn gelijk als de overeenkomstge rijen term gewijze gelijk zijn.

Met een veelterm kan je ook een veeltermfunctie associëren: $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$ . Twee functies zijn gelijk als ze voor elk element van K hetzelfde beeld hebben.

Het is evident dat twee gelijke veeltermen gelijke veeltermfuncties bepalen, maar het omgekeerde niet; m.a.w. het is niet evident dat verschillende veelterm verschillende veeltermfuncties bepalen. Neem bvb. $K=\mathbb{Z}_3=\{0,1,2\}$ ( we werken dus modulo 3). Nu zijn $x$ en $x^3$ verschillende veeltermen want $x=(0,1,0,0,...)$ en $x^3=(0,0,0,1,0,0,...)$ , terwijl de functies $f(x)=x$ en $g(x)=x^3$ beide gelijk zijn aan $\{(0,0),(1,1),(2,2)\}$ . Want $2^3=8 \equiv 2 \mod 3$ .

Voor $K=\mathbb{R}$ kan men aantonen dat twee veeltermen gelijk zijn als en slechts als de overeenkomstige veeltermfuncties gelijk zijn.

Chebyshev veeltermen

Geplaatst op 10 januari 2019 door admin

De Chebyshev-veeltermen $T_n(x)$ zijn genoemd naar Pafnoeti Lvovitsj Chebyshev en zijn gedefinieerd door $\cos nx$ uit te drukken in functie van $\cos x$ :

$T_n(x)=\cos(n\arccos x)$

Zo is $T_0(x)=1$ en $T_1(x)=x$ . Omdat $\cos 2x=2\cos^2 x-1$ is $T_2(x)=2x^2-1$ . We weten ook dat $\cos 3x = 4 \cos^3 x-3$ , dus is $T_3(x)=4x^3-3x$ .

Dat $T_n(x)$ een veelterm is van graad n volgt uit de formule van Lemoivre. Andere Chebyshev veeltermen:

$T_4(x)=8x^4-8x^2+1$
$T_5(x)=16x^5-20x^3+5x$ .

Het onderstaande driehoekig schema geeft een middel aan om de coëfficiënten te bepalen. Elk getal uit de driehoek bekom je door vanaf die positie alle getallen op de diagonaal naar rechtsboven bij elkaar op te tellenen hiervan dan alle getallen op de diagonaal naar linksboven af te trekken. Zo is bijvoorbeeld 18 = 5 + 1 + 0 – (-20) – 8.

Je kan deze veeltermen ook krijgen via een recursie formule:

$T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}(x)$

met $T_0(x)=1$ en $T_1(x)=x$ .

Bovendien zijn de Chebyshev veeltermen ook oplossingen van volgende differentiaalvergelijking:

$(1-x^2)y''-xy'+n^2y=0$

Wiskunde is leuk

Tag archieven: veeltermen

Uitdaging 3 en 4

Voor welke waarden van k is $x^3+y^3+z^3+kxyz$ deelbaar door $x+y+z$ ?

Een veelterm f(x) met gehele coëfficiënten heeft oneven getalwaarden voor 0 en 1. Bewijs dat f(x) geen gehele nulwaarden kan hebben.

Uitdaging 1 en 2

Wat is de som der coëfficiënten van $(3x^2-3x+1)^{200}.(x^2+x-3)^{2020}$ .

Toon aan dat $\sqrt[n]{7}$ irrationaal is voor elk natuurlijk getal n groter dan 1

Deelbaarheid bij veeltermen

Veeltermfuncties

Chebyshev veeltermen

Voor welke waarden van k is deelbaar door ?

Een veelterm f(x) met gehele coëfficiënten heeft oneven getalwaarden voor 0 en 1. Bewijs dat f(x) geen gehele nulwaarden kan hebben.

Wat is de som der coëfficiënten van .

Toon aan dat irrationaal is voor elk natuurlijk getal n groter dan 1

Voor welke waarden van k is $x^3+y^3+z^3+kxyz$ deelbaar door $x+y+z$ ?

Wat is de som der coëfficiënten van $(3x^2-3x+1)^{200}.(x^2+x-3)^{2020}$ .

Toon aan dat $\sqrt[n]{7}$ irrationaal is voor elk natuurlijk getal n groter dan 1