Tag archieven: trapezium

Sangaku 10

Geplaatst op door

antwoord

  • Gevraagd wordt de totale oppervlakte vanher trapezium te berekenen.
  • De driehoeken met gegeven oppervlakten 32 en 50 zijn gelijkvormig. Hun oppervlakten verhouden zich als het kwadraat van de gelijkvormigheidsfactor. Bijgevolg is de gelijkvorrmgheidsfactor

        \[r=\frac{4}{5}\]

  • Noteer dan |AE|=4s en |EC|=5s. Analoog |DE|=4t en |EB|=5t. 
  • De 4 hoeken in E hebben allemaal eenzelfde sinus als overstaande hoeken of supplementaire hoeken. Noteer deze sinus door x. 
  • Om de oppervlakte van een driehoek te berekenen, gebruiken we de formule: de helft van het product van twee zijden , vermenigvuldigd met de sinus van de ingesloten hoek.
  • Oppervlakte ADE= \frac{1}{2}(4s*4t*x)=32.  Dus is stx=4.
  • De oppervlakte van AEB=\frac{1}{2}(4s*5t*x)=10*stx=40 Analoog is ook de oppervlakte van driehoek DEC gelijk aan 40.
  • De totale oppervlakte is dan 32 + 50 + 40 + 40 = 162.

 

 

rekenkundig en harmonisch gemiddelde in een trapezium

Geplaatst op door

De vraag die we willen behandelen in deze tekst luidt:

Construeer het rekenkundig gemiddelde ( RG) en het harmonisch gemiddelde (HG) van de twee evenwijdige zijden van een trapezium.

  • Her RG is vrij eenvoudig: construeer het lijnstuk door de middens van de opstaande zijden. Volgens de stelling van Thales is |EF|=\frac{1}{2}(|AB|+|CD|)
  • Voor het harmonisch gemiddelde construeren we het lijnstuk, evenwijdig aan de evenwijdige zijden, door het snijpunt van de twee diagonalen van het trapezium.
    Uit de gelijkvormigheid van de driehoeken FDE en ADB, CEG en CAB, DEC en EAB volgt dat |FE|=|EG|. Construeer nu , door C, een evenwijdige aan AD. Noteer |AB|=a,|CD|=b en |FG|=x
    Nu is |EH|=b-\frac{1}{2}x en |HG|=x-b. De 3 concurrente rechten AC,IC en BC worden gesneden door 2 evenwijdige rechten, dus geldt volgens Thales dat \frac{|EH|}{|AI|}=\frac{|GH|}{|BI|} of \frac{b-\frac{1}{2}x}{b}=\frac{x-b}{a-b}. Hieruit volgt dat x=\frac{2ab}{a+b} en dit betekent dat |EF| het harmonisch gemiddelde is van de twee evenwijdige zijden van het trapezium.