Tag archieven: transcendente getallen

Kan men een hoek van 1 radiaal construeren met passer en liniaal?

Geplaatst op door

 

In 1873 bewijst Charles Hermite dat het getal e, de basis van de natuurlijke logaritmen, transcendent is. Ferdinand Lindemann toont in 1882 de transcendentie van \pi aan. Het werk van Lindemann is in feite een handige veralgemening van het resultaat van Hermite. Lindemann bewijst: als z een algebraïsch getal is, verschillend van nul, dan is e^z transcendent. Transcendente getallen kunnen niet met passer en liniaal geconstrueerd worden.

De imaginaire eenheid i is een algebraïsch getal, want i is een wortel van de vergelijking x^2+1=0, bijgevolg is e^i transcendent. We weten dat e^i=\cos 1+i \sin 1. Omdat de som van twee algebraïsche getallen algebraïsch is , kunnen \cos 1 en \sin 1 onmogelijk allebei algebraïsch zijn. Maar als bijvoorbeeld \cos 1 algebraïsch zou zijn dan is \sin 1=\sqrt{1-\cos^2 1} het ook en omgekeerd. Bijgevolg zijn \cos 1 en \sin 1 allebei transcendent en is het duidelijk dat een hoek van 1 radiaal niet te tekenen is met passer en lineaal.

Het getal van Champernowne

Geplaatst op door

Een 0, gevolgd door een komma en alle natuurlijke getallen op rij, noemt men het getal van Champernowne (Engels wiskundige 1912-2000).

  • Het is een irrationaal getal, want het kan niet geschreven worden als een quotiënt van twee gehele getallen.
  • Sommige irrationale getallen zijn transcendent ( zoals \pi en e): ze zijn geen oplossing van een veeltermvergelijking met gehele coëfficiënten. Het getal van Champernowne is transcendent.
  • Sommige transcendente getallen zijn normaal. Elke eindige reeks van cijfers komt bij benadering even vaak voor als alle andere cijferreeksen van dezelfde lengte. David Champernowne heeft laten zien dat zijn getal normaal is  door aan te tonen dat niet alleen de cijfers 0 tot en met 9 even vaak voorkomen, maar ook alle combinaties van twee cijfers en alle combinaties van drie cijfers.

Het getal van Champernowne is een van de eerste geconstrueerde normale getallen. Hij bedacht het in 1933 en in 1937 bewees de Duitse wiskundige Kurt Mahler dat het transcendent was.