totiënt functie | Wiskunde is leuk

De Euler-phi functie, ook wel totiënt functie of indicator genoemd, telt het aantal positieve natuurlijke getallen kleiner dan of gelijk aan n, die onderling ondeelbaar zijn met n. Notatie: $\varphi(n)$ .

Zo is bijvoorbeeld $\varphi(10)=4$ , want de enige getallen die onderling ondeelbaar zijn met 10 en kleiner zijn dan 10, zijn 1,3,7 en 9.

Enkele eigenschappen:

$\varphi(1)=1$ .
Als p een priemgetal is dan is $\varphi(p)=p-1$ .
Als p een priemgetal is dan is $\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}=p^{k-1}(p-1)$ .
Als $n=p_1^{k_1}.p_2^{k_2}.\cdots.p_r^{k_r}$ de priemontbinding is van n, dan geldt $\varphi(n)=p_1^{k_1-1}(p_1-1)p_2^{k_2-1}(p_2-1)\cdots p_r^{k_r-1}(p_r-1)$ . Dit kan je ook schrijven als :
$\varphi(n)= n.\prod_{p|n}(1-\frac{1}{p})$

Hierbij doorloopt p alle priemdelers van n.
$\sum_{d|n}\varphi(d)=n$
De indicator geeft ook de omvang aan van de multiplicatieve groep van natuurlijke getallen modulo n