Tag archieven: symmetrie

Het monster

Geplaatst op door

In 1981 construeerde de Amerikaanse wiskundige Robert Griess( 1945-) het Monster: de grootste en een van de meest mysterieuze van de zogenaamde sporadische groepen.

Elk natuurlijk getal kan geschreven worden als product van priemfactoren. Bij groepen heeft men hetzelfde proberen te doen: ‘enkelvoudige’ groepen vinden zodat dat elke groep te schrijven is als product van enkelvoudige groepen. Er bestaan 18 families van dergelijke enkelvoudige groepen elk met aftelbaar  oneindig veel elementen. De verzameling van de cyclische groepen met priem orde is één van die families. Buiten die 18 families zijn er nog enkele enkelvoudige groepen die niet thuis horen in die families. Deze opzichzelfstaande groepen worden sporadische groepen genoemd. Daarvan zijn er 26.

De monster groep is de grootste en telt

    \[2^{46}.3^{20}.5^9.7^6.11^2.13^2.17.19.23.29.31.41.47.59.71\]

elementen. Je deze groep  voorstellen als een sneeuwvlok met meer dan 10^{53} symmetrieën.

De structuur van de monster groep suggereert nauwe verbanden tussen symmetrie en natuurkunde en kan zelfs verband houden met de snaartheorie.

In 1973 kondigden Griess en Bernd Fischer (1956-) het bestaan van het monster aan. Het kreeg zijn naam van John Conway en het was de Britse wiskundige Richard Borcherds (1959-), die voor zijn werk aan het begrijpen van het Monster, uiteindelijk een Fields-medaille kreeg.

Gebruikmaken van de symmetrie

Geplaatst op door

Soms kan je, door gebruik te maken van de  symmetrie  in de tekening of de symmetrie van de gegevens, de opgave aanzienlijk vereenvoudigen.

Een voorbeeld: Los op in \mathbb{R}:

    \[(x+2013)(x+2014)(x+2020)(x+2021)=44\]

  • Dit is een vierdegraads vergelijking. Hiervoor kennen we geen algemene oplossingsmethode.
  • Dus: haakjes uitwerken en dan ofwel proberen te ontbinden in factoren ofwel de regel van Horner toepassen. Maar dit is niet aantrekkelijk want de getallen in de opgave zijn nogal groot.
  •  De getallen 2013,2014,2020 en 2021 liggen wel symmetrisch rond 2017!
  •  We vervangen x+2017 door een nieuwe variabele t. De opgave wordt nu:

        \[(t-4)(t-3)(t+3)(t+4)=44\]

    .

  • Dit kan je netjes uitrekenen tot:

        \[(t^2-16)(t^2-9)=44\]

  • Verder uitrekenen geeft: t^4-25t+100=0. Hieruit volgt dat t^2=20 of t^2=5.
  • De 4 oplossingen voor t zijn dan: \pm \sqrt{5} en \pm \sqrt{20}. En dus moet \newline x=-2017 \pm \sqrt{5} of x=-2017 \pm \sqrt{20}.