Tag archieven: stelling van Pythagoras

Stelling van Pythagoras

Geplaatst op door

Deze tekst is gemaakt door Joran Deschagt, leerling van 6WEWI uit het H.Drievuldigheidscollege in Leuven.

 

    \[a^2+b^2=c^2\]

Iedereen kent de stelling dat in een rechthoekige driehoek de som van de kwadraten van de rechthoekszijden gelijk is aan het kwadraat van de schuine zijde. Wij kennen deze stelling als de stelling van Pythagoras. Maar deze stelling was al gekend bij de Soemeriërs en de Egyptenaren, lang voor Pythagoras.

Er zijn in feite heel  veel verschillende bewijzen voor de stelling van Pythagoras. Ook werden deze over heel de wereld ontworpen, van Azië tot Amerika. Er was er zelfs één van de Amerikaanse president, J. A. Garfield. We geven een kleine selectie:

Het oudste bewijs dat we hebben gevonden situeren we ergens tussen 1200 v.C. – 100v.C. in een oud Chinese leerboek Chou-Pei Suan Ching.

De zijde van het grote vierkant is a + b en de oppervlakte dus (a+b)^2. Hierbij zijn a en b de zijden van de rechthoekige driehoeken die getekend staan tussen het grote vierkant en het kleine vierkant. De zijde van het middelste vierkant is c. De oppervlakte van het grote vierkant is de som  van  de oppervlakten van de 4 rechthoeken en de oppervlakte van het kleine vierkant: (a+b)^2=4. \frac{ab}{2}+c^2. Hieruit volgt dan de stelling van Pythagoras.

Het bewijs van president Garfield steunt op de oppervlakte van een trapezium

De oppervlakte van het trapezium is gelijk aan de som van de oppervlakten van de drie driehoeken, dus (a+b).\frac{a+b}{2}=\frac{ab}{2}+\frac{ab}{2}+\frac{c^2}{2}. Uitrekenen geeft ….de stelling van Pythagoras!

 

Een recenter bewijs komt van Xiaolin Zhong, professor aan het UCLA:

Draai de driehoeken ABH en BCD naar de driehoeken HGF en FED; Je ziet hier 4 keer die driehoek ‘rond’ het binnenste vierkant en 2 keer in dat binnenste vierkant. Het grootste vierkant heeft  een zijde van a + b en een oppervlakte gelijk aan (a+b)^2 en bestaat uit 4 rechthoeken en een vierkant met zijde EG. Het vierkant FDCH heeft oppervlakte c^2 en bestaat uit 4 driehoeken (die 2 rechthoeken vormen) en dat vierkant met zijde EG. Hieruit kan je het gewenste resultaat afleiden.

 

Waar ligt de horizon

Geplaatst op door

Als we kijken naar de horizon, volgt onze blik een richting die raakt aan de aardbol.

De raaklijn staat loodrecht op de straal in het raakpunt. De afstand A van ons oog naar de horizon is dus gemakkelijk te berekenen via de stelling van Pythagoras: A^2=(R+h)^2-R^2. Hieruit volgt dat : 

    \[A=\sqrt{h^2+2Rh}\]

De aardstraal is ongeveer 6371 km. Omdat de ooghoogte h verwaarloosbaar is ten opzichte van R, kunnen we volgende benadering geven:

    \[A\approx 112,88 \sqrt{h}\]

Voor h=1,75m vinden we A=4,7 km.

Pythagorese drietallen

Geplaatst op door

Een Pythagorees drietal is een drietal positieve gehele getallen (a,b,c) waarvoor geldt dat

    \[a^2+b^2=c^2\]

Deze afbeelding heeft een leeg alt-attribuut; de bestandsnaam is pyt1.png

Zo zijn (3,4,5) en (5,12,13) allebei Pytagorese drietallen.
Het is duidelijk dat als (a,b,c) een Pythagorees drietal is, dat dan ook (ad,bd,cd) een Pythagorees drietal is. Oplossingen van a^2+b^2=c^2 die relatief ondeelbaar zijn, noemen we primitieve Pythagorese drietallen. Hiervoor kennen we volgend resultaat:


Als m en n relatief ondeelbare postieve gehele getallen zijn met m>n en waarbij één ervan even is en de andere oneven, dan vormen  a=m^2-n^2, b=2mn en c=m^2+n^2 een primieteve oplossing van a^2+b^2=c^2. Bovendien geldt dat elke primitief Pythagorees drietal van die vorm moet zijn, op een mogelijke permutatie van a en b na.