stelling van Napoleon | Wiskunde is leuk

Iedereen kent gelijkvormige driehoeken. In deze tekst proberen we ze te beschrijven met complexe getallen. Elk punt Z in het vlak correspondeert met een uniek complex getal z.

Twee driehoeken ABC en DEF zijn rechtstreeks gelijkvormig ( alle hoeken hebben eenzelfde oriëntatie, bvb met de klok mee) als en slechts als

$\begin{vmatrix} a&d&1\\b&e&1\\c&f&1 \end{vmatrix}=0$

Bij onrechtstreekse gelijkvormigheid moet je , in de tweede kolom, elk complex getal vervangen door zijn complex toegevoegde. Gebruiken we deze formules nu op een voorbeeld:

De stelling van Napoleon luidt dat als aan de zijden van een willekeurige driehoek gelijkzijdige driehoeken worden vastgemaakt, ofwel alle drie naar buiten, ofwel naar binnen gericht, dat vormen de zwaartepunten van die driehoeken een gelijkzijdige driehoek.

We veronderstellen alle driehoeken klok georiënteerd.
Elke gelijkzijdige driehoek is gelijkvormig met de driehoek gevormd door de complexe getallen $1,\omega$ en $\omega^2$ . Hierbij is $\omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ .
Als ABC gelijkzijdig is dan moet
$a+b\omega+c\omega^2=0$

Dit volgt uit vorige opmerking.
Dus is :
$\begin{array}{c} c+x\omega+b\omega^2=0\\b+z\omega+a\omega^2=0\\a+y\omega+c\omega^2=0\end{array}$
Door de tweede vergelijking te vermenigvuldigen met $\omega$ en de derde met $\omega^2$ vinden we:
$\begin{array}{c} c+x\omega+b\omega^2=0\\a+b\omega+z\omega^2=0\\y+c\omega+a\omega^2=0\end{array}$
Omdat M,L en N zwaartepunten zijn geldt: $m=\frac{a+c+y}{3},l=\frac{c+x+b}{3}$ en $n=\frac{a+b+z}{3}$ .
Rest ons te bewijzen dat MLN gelijkzijdig is, daartoe moeten we bewijzen dat $m+l\omega+n\omega^2=0$ . Een combinatie van de twee laatste puntjes geeft ons het gewenste resultaat.