Wiskunde is leuk

Stelling van Ptolemaeus

Geplaatst op 6 september 2020 door admin

De kans, dat 4 willekeurig gekozen punten in het vlak, op 1 lijn of 1 cirkel liggen is erg klein. Er moeten dus wel speciale voorwaarden zijn om dit te doen gebeuren. Zo een voorwaarde wordt gegeven in de stelling van Ptolemaeus:

Voor 4 willekeurige punten A,B,C en D in het vlak, geldt

$AB.CD+AD.BC \geq AC.BD$

Er treedt gelijkheid op als de punten collineair of concyclisch zijn .

Enkele gevolgen:

Als ABCD een koordenvierhoek is en ABC een gelijkzijdige driehoek, dan is $BD=AD+CD$ .
Als ABCD een koordenvierhoek is en de hoeken in B en D zijn recht, dan is $BD=AC.\sin A$ ( schrijf de hoek A als som van twee hoeken en pas de domformule voor $\sin(x+y)$ toe)

Koordenvierhoeken

Geplaatst op 16 juni 2018 door admin

Een koordenvierhoek is een vierhoek waarbij de vier hoekpunten op een cirkel gelegen zijn.
Enkele eigenschappen:

Een koordenvierhoek is altijd convex.
Een vierhoek is een koordenvierhoek als en slechts als de overstaande hoeken supplementair zijn ( samen gelijk aan 180°).
$|AB|.|CD|+|BC|.|AD|=|AC|.|BD|$ : de stelling van Ptolemaeus.
Een vierhoek is een koordenvierhoek als en slechts als de hoek gevormd door een zijde en een diagonaal gelijk is aan de hoek gevormd door de overstaande zijde en de overstaande diagonaal.
De hoogtepunten van de vier diagonaaldriehoeken vormen een driehoek die congruent is met de gegeven vierhoek.