Tag archieven: spelstrategie

Opgave 29

Geplaatst op door

n spelers spelen n spelen en winnen om de beurt. Telkens een speler wint, verdubbelt hij het bezit van zijn n-1 tegenspelers. Op het einde hebben ze allemaal evenveel. Hoeveel hadden ze in het begin?

Antwoord

  • Laten we eenvoudig beginnen met 3 spelers, die in het begin a,b en c bezitten. Het rijtje tussen resultaten van de eerste speler is (a, a-b-c,2(a-b-c),4(a-b-c)). Het rijtje voor de tweede speler is (b,2b,3b-a-c,2(3b-a-c)). tenslotte voor de derde speler (c,2c,4c,7c-a-b). Als ze allemaal evenveel hebben op het laatst dan moet 4(a-b-c)=2(3b-a-c)=7c-a-b.. Dit stelsels is gelijkwaardig met : 4b=7c en 4a=13c. Hieruit volgt dat a=13, b=7 en c=4.
  • Deze manier van werken wordt moeilijk voor willekeurige n.
  • Noteer met s het totaal bezit van alle spelers. Op het einde hebben ze dan allemaal \frac{s}{n}.
  • Na het eerste spel heeft de eerste speler a_1-a_2-\cdots-a_n=2a_1-s.
  • Al de volgende keren wordt zijn bedrag verdubbeld zodat hij op het einde 2^{n-1}(2a_1-s)=\frac{s}{n} heeft. Hieruit volgt dat n2^na_1=s(2^{n-1}n+1).
  • Een analoge redenering voor speler 2 geeft :n2^na_2=s(2^{n-2}n+1). Idem voor alle andere spelers.
  • Hieruit volgt dat ze allen op het einde 2^n bezitten en dat in het begin speler k een som van 2^{n-k}n+1 heeft

Spelstrategie: gunstige en ongunstige situaties

Geplaatst op door

Aan de hand van een eenvoudig spel, proberen we enkele begrippen betreffende spelstrategiën uit te leggen:

Een willekeurig aantal lucifers n ligt op één hoop. Twee spelers nemen om de beurt 1,2 of 3 lucifers weg. De speler die de laatste lucifer(s) neemt, die wint.

Het is duidelijk dat men verliest als, na jouw beurt, er voor de tegenspeler nog 1,2 of 3 lucifers overblijven. Immers hij/zij kan die gewoon wegnemen en zo het spel winnen. Als je echter je tegenspeler kan confronteren met 4 lucifers dan win jij. Want de andere speler moet 1,2 of 3 lucifers wegnemen en daarna neem jij gewoon de rest weg en je wint. Als na je beurt  er 5,6,of 7 lucifers overblijven dan kan de tegenstreven er zoveel wegnemen dat er juist 4 overblijven en dan komt hij/zij in een gunstige situatie terecht. Met andere woorden situaties met 4,8,12,…zijn dus gunstig.

We bekijken dus de spelsituatie na de zet van een speler. We noemen de situatie gunstig als de speler door zijn zet zijn eigen winst vastlegt. In vorig voorbeeld zijn alle viervouden dus gunstige sitiuaties. Een ongunstige situatie kan zowel tot winst als verlies leiden. Ze leidt meestal tot verlies, tenzij de tegenspeler een fout maakt. De winnende spelstrategie bestaat erin als eerste in een gunstige situatie terecht te komen en na elke zet van de tegenstrever de ontstane ongunstige stituatie weer om te buigen in een gunstige situatie.

Het is natuurlijk mogelijk dat de tegenstrever op een moment zelf in een gunstige situatie verzeilt en dan is elke zet voor jou verkeerd. Toch kan je nog een optimale spelstrategie ontwikkelen gebaseerd op het feit dat de tegenstrever een fout kan maken. Dit is waarschijnlijker als de situatie ingewikkeld wordt.  Daardoor wordt meestal een minimum zet gedaan zodat er veel mogelijkeheden overblijven om te kiezen en dus heb je zo een grotere kans geschapen om in de fout te gaan. In het besproken spel zou je dan 1 lucifer wegnemen.