skalair product | Wiskunde is leuk

Om het begrip afstand te definiëren hebben we een metriek nodig. Dit kan je hier lezen. Een voorbeeld van een metriek in $\mathbb{R}^2$ is de Euclidische afstand, gedefinieerd door

$d(x,y)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

Hiermee is een norm gedefinieerd via

$\Vert x\Vert =\sqrt{x_1^2+y_1^2}$

en dan is

$d(x,y)=\Vert y-x\Vert$

In $\mathbb{R}^2$ is er ook een skalair product

$x.y=x_1x_2+y_1y_2$

Dit is een product met volgende eigenschappen:

$x.x \geq 0$ en $x.x=0 \Leftrightarrow x=0$ .
$x.y=y.x$
$x.(ry+sz)=r x.y +s x.z$

Het gegeven skalair product definieert dus de Euclidische metriek, via $\Vert x\Vert = \sqrtçx.x}$ . Maar dat is niet altijd zo. Er zijn metrieken waarmee geen skalair product is geassocieerd. Een voorbeeld is de Manhattan metriek

$d(x,y)=|x_2-x_1|+|y_2-y_1|$

Er is geen skalair product dat hiermee correspondeert.

Normen die voldoen aan de parallellogram eigenschap kunnen een skalair product definiëren, andere niet:

$\Vert x+y \Vert +\Vert x-y \Vert=2(\Vert x \Vert+ \Vert y\Vert)$

Wiskunde is leuk

Tag archieven: skalair product

Ruimtemeetkunde

Afstand en skalair product