De groene oppervlakte is gelijk aan de rode oppervlakte.
We duiden volgende gebieden aan en noteren de schuine zijde van de gele rechthoekige driehoek a en de rechthoekszijden b en c:
Te bewijzen is dat I + V = III
De stellig van Pythagoras zegt: .
Na deling door 8 en vermenigvuldiging met geeft dit:
Vertaald naar oppervlaktes van halve cirkels geeft dit : II + III + IV = I +II +IV +V of na vereenvoudiging: I + V = III
Deze figuur noemt men ook wel eens de maantjes van Hippocrates. Ze wordt toegeschreven aan de Griekse wiskundige Hippocrates van Chios (rond 430 voor Christus).
We zien hier 3 cirkels die elkaar uitwendig raken en die alle 3 eenzelfde rechte raken. We zoeken een verband tussen de stralen. Noem die, van links naar rechts, en .
Bij twee dergelijke cirkels zien we dat
We kunnen dit 3 keer toepassen in de gegeven sangaku: de twee linkse cirkels, de twee rechtse cirkels en de meest linkse met de meest rechtse. Zo vinden we
Dit probleem komt uit de verzameling Siri Shinpen van Saito Gigi (1816-1889). Het werd door Nakasone Munekuni voorgesteld in 1856 en opgehangen in de Haruna schrijn in Haruna.
Antwoord
Te bewijzen is dat de groene oppervlakte en de oranje oppervlakte gelijk zijn.
De groene oppervlakte bestaat uit 2 cirkels () en n cirkelsectoren. De oppervlakte van een cirkelsector is .
Als we al de oppervlaktes van die sectoren optellen vinden we met S de som van al de hoeken van de getekende veelhoek. Dus is .
De groene oppervlakte is dus .
De oranje oppervlakte bekomen we door n cirkels te verminderen met een deel van de groene oppervlakte: en na vereenvoudiging is dat ook .
Een sangaku is van nature uit een Japanse puzzel uit de Euclidische meetkunde. Vanuit een afbeelding wordt er gevraagd een eigenschap of stelling te herkennen of een berekening uit te voeren. Laten we starten met een eenvoudig voorbeeld:
Antwoord
Er wordt hier gevraagd naar de oppervlakte van het gele vierkant.
De oppervlakte van het grote vierkant is . Nu is de gulden snede, dus is , zodat de oppervlakte van het grote vierkant gelijk is aan .
Nu moet je vier driehoeken met schuine zijde aftrekken. De kleinste rechthoekszijde vindt men door gelijkvormige driehoeken te beschouwen en heeft dan als lengte .
Zo wordt de oppervlakte van het gele vierkant uiteindelijk . Hierbij gebruiken we de eigenschap dat .