recursief voorschrift | Wiskunde is leuk

Gelijkaardig aan de rij van Fibonacci, kunnen we ook de rij van Padovan definiëren, als de rij met $p_1=p_2=1$ en

$p_n=p_{n-2}+p_{n-3}$

De rij van Padovan is vernoemd naar de schrijver en architect Richard Padovan die zijn ontdekking toegeschreef aan de Nederlandse architect Hans van der Laan . Hieronder zie je een spiraal van gelijkzijdige driehoeken waarvan de lengten der zijden gelijk zijn aan de de getallen uit de rij van Padovan.

Als we de rij bestuderen van de quotiënten van twee opeenvolgende getallen uit de rij van Padovan, bekomen we volgende rij : $2,1,\frac{3}{2},\frac{4}{3},\frac{5}{4},\frac{7}{5},\frac{9}{7},...$ . We vermoeden dat deze rij convergeert naar een limiet L.
$a_n=\frac{p_n}{p_{n-1}}=\frac{p_{n-2}}{p_{n-1}}+\frac{p_{n-3}}{p_{n-1}}=\frac{p_{n-2}}{p_{n-1}}+\frac{p_{n-3}}{p_{n-2}}\frac{p_{n-2}}{p_{n-1}}$ . Dus is $a_n=\frac{1}{a_{n-1}}+\frac{1}{a_{n-2}}\frac{1}{a_{n-1}}$ . In de limiet wordt dit $L=\frac{1}{L}+\frac{1}{L^2}$ . Bijgevolg voldoet de limiet L aan de betrekking

$L^3-L-1=0$

Zo vinden we voor L de benaderende waarde $1,3247$ .

Dit getal noemen we het plastisch getal. Het plastisch getal heeft met de gulden snede nog meer eigenschappen gemeen, maar sommigen gaan nog verder en dichten aan deze getallen verregaande eigenschappen toe omtrent schoonheid.

Een rij $a_n$ voldoet aan een lineaire recurrentie als

$c_ka_{n+k}+c_{k-1}a_{n-k-1}+\cdots+c_1a_{n+1}+c_0a_n=0$

De rij $a_n$ noemt men dan een lineaire recursieve rij.
De karakteristieke veelterm van bovenstaande lineaire recurrentie is de veelterm

$f(x)=c_kx^k+c_{k-1}x^{k-1}+\cdots c_1x+c_0$

Als we $f(x)$ in $\mathbb{C}$ kunnen ontbinden als

$c_k(x-r_1)^{m_1}(x-r_2)^{m_2}\cdotsc_k(x-r_l)^{m_l}$

dan voldoet $a_n$ aan de lineaire recurrentie als en slechts als er functies $g_i(x)$ , met graad kleiner of gelijk aan $m_i-1$ , bestaan zodat

$a_n=g_1(n)r_1^n+\cdots+g_l(n)r_l^n$

Als $m_1=m_2=\cdots=m_l=1$ , dan zijn alle functies $g_i(x)$ constanten.

Enkele speciale gevallen:

Bij een rekenkundige rij is $a_{n+1}=a_n+v$ met $a_0=a$ . Dit is geen lineaire recurrentie. Maar nu is ook $a_{n+2}=a_{n+1}+v$ . Aftrekken van de twee formules geeft : $a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=0$ . Dits is wel een lineaire recurrentie met karakteristieke veelterm $x^2-2x+1=(x-1)^2$ . Bijgevolg is $a_n=(An+B).1^n$ . Het is duidelijk dat $B=a$ , de beginterm van de rij en $A=v$ , het verschil van de rij. Zodoende is het algemeen voorschrift $a_n=n.v+a$ voor $n=0,1,...$
Bij een meetkundige rij is $a_{n+1}=a_n.q$ met $a_0=a$ . Dit is een lineaire recurrentie met karakteristieke veelterm $x-q$ . Bijgevolg is $a_n=A.q^n$ . Uit $a_0=a$ volgt dat $A=a$ en dus is het algemeen voorschrift $a_n=a.q^n$ voor $n=0,1,...$

Voorbeeld : $a_0=1$ en $a_1=4$ en elke ander term is het rekenkundig gemiddelde van de twee vorige termen. Een aantal termen van de rij: $1,4,\frac{5}{2},\frac{13}{4},...$ . Om de algemene term van de rij te bepalen, zoeken we eerst de karakteristieke veelterm van de lineaire recurrentie: $2a_{n+2}-a_{n+1}-a_n=0$ . Dan is $f(x)=2x^2-x-1=2(x-1)(x+\frac{1}{2}$ . Bijgevolg is $a_n=A1^n+B\Big(-\frac{1}{2}\Big)^n=A+B\Big(-\frac{1}{2}\Big)^n$ . Om A en B te bepalen gebruiken we dat $a_0=1$ en $a_1=4$ . Hieruit volgt dat $A=3$ en $B=-2$ , zodat $a_n=3-2\Big(-\frac{1}{2}\Big)^n$

Wiskunde is leuk

Tag archieven: recursief voorschrift

De rij van Padovan en het plastisch getal

Lineaire recursieve rijen