Straal ingeschreven cirkel

Geplaatst op 13 mei 2022 door admin

Zoek een verband tussen de zijden van een rechthoekige driehoek en de straal van de ingeschreven cirkel.

De stukken van de raaklijnen vanuit een punt aan de cirkel zijn even lang en bovendien is x = r.

Wanneer we $a+b$ berekenen vinden we dat $a+b=x+z+x+y=2r+c$ , dus geldt in een rechthoekige driehoek :

$a+b-c=2r$

Kan je nu de oppervlakte van de rechthoek ABCD berekenen?

Nootje 24

Geplaatst op 18 juli 2021 door admin

Antwoord

Omdat 18,24 en 30 gelijke veelvouden zijn van 3,4,en 5 is de gegeven driehoek rechthoekig.
We kunnen er dus voor zorgen dat de punten A,B en C gegeven zijn door A(0,0), B(0,18) en C(24,0).
Het zwaartepunt Z vind door de coördinaten op te tellen en te delen door 3, dus Z(8,6).
Omdat de driehoek rechthoekig is , ligt het middelpunt van de ongeschreven cirkel O, in het midden van de schuine zijde. Bijgevolg is O(12,9).
Als we het middelpunt I van de ingeschreven cirkel verbinden met de hoekpunten en de oppervlakte van de 3 gevormde driehoeken optellen, vinden we dat de oppervlakte van de gegeven driehoek gelijk is aan de halve omtrek, vermenigvuldigd met de straal r van de ingeschreven cirkel. Hieruit vinden we dat r = 6 en dus is I(6,6).
De driehoek ZOI heeft als basis $|ZI|=2$ en als hoogte $h=9-6=3$ . De gevraagde oppervlakte bedraagt dus 3 oppervlakte eenheden.

Geplaatst op 5 januari 2021 door admin

Antwoord

Noem de oppervlakte A en de rechthoekszijden van de rechthoekige driehoek a en b. Noteer met x de lengte van de bissectrice uit A en met y de lengte van de zwaartelijn uit A.
Dan is A de som van de oppervlaktes van ABE en AEC, dus $A=\frac{1}{2}ax \sin 45^\circ+\frac{1}{2}bx \sin 45^\circ$ .
Hieruit volgt dat $A=\frac{\sqrt{2}}{4}(a+b)x$ .
Kwadrateren geeft : $A^2=\frac{2}{16}(a^2+b^2+2ab)$ .
Volgens Pythagoras is $a^2+b^2= c^2$ , met c de schuine zijde. Maar de zwaartelijn getrokken naar de schuine zijde is gelijk aan de helft van die schuine zijde. Dus $c=2y$ .
Verder is $ab$ gelijk aan het dubbele van de oppervlakte van de driehoek, dus $ab=2A$ .
Ingevuld : $A^2=\frac{1}{8}(4y^2+4A)$ .
Vereenvoudigd: $A^2=\frac{1}{2}x^2y^2+\frac{1}{2}x^2A$ .
Hieruit kan je A oplossen:
$A=\frac{x^2+x\sqrt{x^2+8y^2}}{4}$

Geplaatst op 2 januari 2019 door admin

Antwoord

Bij een rechthoekige driehoek met gehele getallen denken we onmiddellijk aan Pythagorese drietallen. De zijden zijn van de vorm $a=d(u^2-v^2),b=2uvd$ en $c=d(u^2+v^2)$ . Hierbij zijn u en v onderling ondeelbaar en is één ervan even en de ander oneven. Bovendien is d de grootste gemene deler van de drie zijden en $u>v$ .
De voorwaarde dat de oppervlakte het dubbel is van de omtrek betekent dat $ab=4(a+b+c)$ of uitgedrukt in u en v : $(u-v)vd=4$ .
Omdat $u-v$ zeker oneven is en een deler is van 4 moet $u-v=1$ . Ook moet $v=1,2$ of 4. Hieruit volgt dat $u=2,3$ of 5 en $d=4,2$ of 1.
We vinden dus 3 driehoeken die voldoen aan de gegeven voorwaarden: $(12,16,20),(10,24,26)$ en $(9,40,41)$ .