Tag archieven: raadsels

Nootje 53

Geplaatst op door

De eerste prijs, in Euro’s, bij een loterij is een getal van 5 cijfers. Nina en 3 van haar vrienden winnen de prijs en verdelen die in gelijke delen onder elkaar. Nina merkt dat haar deel dezelfde cijfers heeft als de totale prijs, maar dan in omgekeerde volgorde. Hoe groot is Nina’s deel?`

Antwoord

  • stel de totale prijs door abcde.
  • er geldt dan dat abcde= 4.edcba.
  • Omdat 4e<10 moet e=1 of e=2.Omdat 4a eindigt op cijfer e, moet e dus even zijn en dus is e=2
  • nu e=2, eindigt 4a op een 2 en dus is a=3 of 8.
  •  We weten dat e=2,718 dus is a\geq 8 en dus is a=8.
  • We hebben dus al dat 8bcd2=4. 2dcb8
  • Volledig uitgeschreven: 80000+1000b+100c+10d+2=80000+4000d+400c+40b+32
  • Dit wordt dan: 960b=300c+3990d+30 of na vereenvoudiging 32b=10c+133d+1
  • Kijkend neer even en oneven vinden we dat 133d+1 even moet zijn en dus id d oneven. Anderzijds is 32 b > 133d, dus zeker 32b>128d of b>4d. gecombineerd met het oneven zijn van d, volgt hieruit dat d=1.
  • De vergelijking,g twee stappen terug wordt dan 32b=10c+134.
  • 32b moet dus op een 4 eindigen en omdat b>4, weten we dat b=7
  • We bekomen tenslotte 224=10c+134 of c=9
  • Het deel van Nina is dus 21978 Euro

Raadsel

Geplaatst op door

De leraar wiskunde  stelt volgende vraag op het proefwerk aan zijn leerlingen: ‘Zoek het getal dat ik in gedachten heb. Het getal is gelegen tussen 13 en 1300. En jullie mogen drie vragen stellen over dit getal, waar ik met ja of nee op antwoord, en dan moeten jullie dit getal kunnen bepalen.’

Eerste vraag van de leerlingen: ‘Is het getal kleiner dan 500?’

De leraar antwoordt, maar hij liegt.

Tweede vraag van de leerlingen: ‘Is het getal een volkomen kwadraat?’

De leraar antwoordt, maar hij liegt weer.

Derde vraag van de leerlingen: ‘Is het getal een volkomen derdemacht?’

De leraar antwoordt en nu spreekt hij de waarheid.

De leerlingen beginnen nu te rekenen, maar ze zitten nog vast.

De leraar staat hen dan toe nog een vierde vraag te stellen.

Vierde vraag: ‘Is het laatste cijfer van dat getal een 2?’

De leraar antwoordt en spreekt weer de waarheid.

Eén van de leerlingen heeft het nu gevonden. ‘Dit is het getal’, zegt hij. Het is natuurlijk verkeerd.

Welk is het getal dat de leraar in gedachten had?

Antwoord

  • Het is duidelijk dat  na de derde vraag de leerling nog twee mogelijke getallen in zijn hoofd  heeft.
  • We schrijven alle kwadraten tussen 13 en 1300 ( 16 tot en met 1296) op en ook alle derdemachten ( 27 tot en met 1000)
  • Er zijn 8 mogelijke scenario’s  voor de mogelijke antwoorden van de leraar. JJJ , JNJ,… ( J voor ja en N voor neen)
  • Stel dat de leerling 3 maal ja krijgt als antwoord, dan vind je alle getallen kleiner dan 500 die zowel een kwadraat als een derde macht zijn, dan krijg je maar 1 oplossing , namelijk 64. dat kan dus niet.
  • Stel dat je JNN krijgt: kleiner dan 500 en geen kwadraat en geen derde macht: heel veel oplossingen: kan ook niet.
  • JJN,JNJ,NJJ,NNN en NJN kunnen ook niet .
  • Wat met NNJ : groter dan 500, geen kwadraat, maar wel een volkomen derde macht: 512 en 1000. Dus twee mogelijkheden.
  • Maar de leraar liegt bij de twee eerste vragen , dus NNJ wordt JJJ en dan is er maar 1 oplossing ,namelijk 64

 

Hoe oud?

Geplaatst op door

Lies zegt aan Veerle dat ze nu drie opgroeiende kinderen heeft waarvan het product van hun leeftijden 72 . De som is haar huisnummer . Veerle kan het antwoord toch niet geven tot Lies eraan toevoegt dat haar oudste kind graag naar Pink Floyd luistert. Hoe oud zijn de kinderen?

  • Veerle zoekt alle ontbindingen van 72 = 2^3.3^2 in 3 factoren. Omdat de som Veerle geen informatie geeft moet die som 14  zijn omdat dit twee keer voorkomt als som: 14 = 2 + 6 +6 = 3 + 3 +8 .
  • 2,6 en 6  kan  niet omdat er dan geen oudste kind is.
  • Dus de kinderen zijn 3 , 3  en 8 jaar oud.

Een cijferraadsel

Geplaatst op door

Als a679b een getal is van 5 cijfers en bovendien deelbaar is door 72, bepaal dan a en b.

Dit is een eenvoudig voorbeeld van een cijferraadsel. De onbekenden a en b stellen cijfers voor: 0 , …, 9. In dit raadsel is er een voorwaarde over deelbaarheid gegeven om het probleem te kunnen oplossen.

  • Een getal is deelbaar door 8 als de laatste drie cijfers deelbaar zijn door 8, dus moet 79b deelbaar zijn door 8. de enige oplossi,ng is b = 2.
  • Een getal is deelbaar door 9 als de som van de cijfers deelbaar is door 9, dus als a +6 +7 +9 +2 deelbaar is door 9.
  • Dus moet a + 6 een veelvoud zijn van 9. dan is a = 3 de unieke oplossing.
  • Besluit a = 3 en b = 2.
  • Controle 36792 = 72 . 511