Tag archieven: Pythagoras

Sangaku 7

Geplaatst op door

Antwoord

  • De opdracht is de oppervlakte van de groene driehoek te zoeken.
  • Verdeel het onderste zijde van het vierkant in 2 stukken, van links naar rechts: x en 8 – x
  • Door 2 maal gebruik te maken van de eigenschap dat de raaklijn stukken getrokken vanuit een punt buiten de cirkel aan die cirkel even lang zijn, weten we dat de schuine zijde van de groene driehoek gelijk is aan x + 8.
  • De groene driehoek is rechthoekig en dus kunnen we Pythagoras toepassen :

        \[(x+8)^2=8^2+(x-8)^2\]

  • Hieruit volgt dat x = 2.
  • De oppervlakte van de groene driehoek is dan 24 oppervlakte eenheden.

 

 

 

Vierkantswortels

Geplaatst op door

Vierkantswortels zijn al eeuwenlang bekend. De Rhindpapyrus verwijst al in 1650 v.Chr. naar vierkantswortels, maar dat is niet zo vreemd, want wortels houden verband met oppervlaktes en diagonalen van vierkanten en rechthoeken.

\sqrt{2} was nogal wat voor de Pythagoreeëers. De ontdekking dat de wortel van 2 irrationaal was, zat hen echt dwars. De idee dat een getal niet kon worden uitgedrukt als een breuk was ondenkbaar. Het was Hippasus van Metaponte die dit bewijs leverde en het verhaal gaat dat hij zijn ontdekking op zee deed, waarna hij overboord werd gegooid!Archimedes maakte een zeer nauwkeurige schatting van de wortel uit 3 :

    \[\frac{265}{153}<\sqrt{3}<\frac{1351}{780}\]

of uitgedrukt in decimalen: 1,7320261<\sqrt{3}<1,7320512.  Let op dat dit tweede getal slechts 0,0000004 afwijkt , wat erg nauwkeurig is gezien Archimedes geen rekentoestel had en niet werkte in het tientallig stelsel. Sommige bronnen beweren dat hij de Babylonische methode volgde.

Deze methode, ook Herons methode genoemd, is een fraaie iteratieve formule. Bij \sqrt{S} , nemen we eerst een ruwe schatting en noemen die x_0. Verder geldt:

    \[x_{n+1}=\frac{1}{2}\Big(x_n+\frac{S}{x_n}\Big)\]

Op het rekentoestel vinden we voor de wortel uit 3 de waarde 1,732050808. Als eerste schatting nemen we x_0=2. dan is x_1=\frac{1}{2}(2+\frac{3}{2})=1,75. We hebben al twee cijfers juist. Een betere benadering is x_2=\frac{1}{2}(1,75+\frac{3}{1,75})=1,7321. Nu hebben we de eerste 4 cijfers van \sqrt{3} en als we willen, kunnen we hiermee doorgaan om steeds een nauwkeurigere schatting te krijgen van de wortel uit 3.

Sangaku 4

Geplaatst op door

Antwoord

  • De groene oppervlakte is gelijk aan de rode oppervlakte.
  • We duiden volgende gebieden aan en noteren de schuine zijde van de gele rechthoekige driehoek a en de rechthoekszijden b en c:
  • Te bewijzen is dat I + V = III
  • De stellig van Pythagoras zegt: a^2=b^2+c^2.
  • Na deling door 8 en vermenigvuldiging met \pi geeft dit:

        \[\frac{1}{2}\pi \Big( \frac{a}{2} \Big)^2=\frac{1}{2}\pi \Big( \frac{b}{2} \Big)^2+\frac{1}{2}\pi \Big( \frac{c}{2} \Big)^2\]

  • Vertaald naar oppervlaktes van halve cirkels geeft dit : II + III + IV = I +II +IV +V of na vereenvoudiging: I + V = III
  • Deze figuur noemt men ook wel eens de maantjes van Hippocrates. Ze wordt toegeschreven aan de Griekse wiskundige Hippocrates van Chios (rond 430 voor Christus).

Nootje 18

Geplaatst op door

Bereken de oppervlakte van een rechthoekige driehoek in functie van de bissectrice en zwaartelijn betrokken uit de rechte hoek.

Antwoord

 

  • Noem de oppervlakte A en de rechthoekszijden  van de rechthoekige driehoek a en b. Noteer met x de lengte van de bissectrice uit A en met y de lengte van de zwaartelijn uit A.
  • Dan is A de som van de oppervlaktes van ABE en AEC, dus A=\frac{1}{2}ax \sin 45^\circ+\frac{1}{2}bx \sin 45^\circ.
  • Hieruit volgt dat A=\frac{\sqrt{2}}{4}(a+b)x.
  • Kwadrateren geeft :  A^2=\frac{2}{16}(a^2+b^2+2ab).
  • Volgens Pythagoras is a^2+b^2= c^2, met c de schuine zijde. Maar de zwaartelijn getrokken naar de schuine zijde is gelijk aan de helft van die schuine zijde. Dus c=2y.
  • Verder is ab gelijk aan het dubbele van de oppervlakte van de driehoek, dus ab=2A.
  • Ingevuld : A^2=\frac{1}{8}(4y^2+4A).
  • Vereenvoudigd: A^2=\frac{1}{2}x^2y^2+\frac{1}{2}x^2A.
  • Hieruit kan je A oplossen:

        \[A=\frac{x^2+x\sqrt{x^2+8y^2}}{4}\]