Tag archieven: problemen

Opgave 15

Geplaatst op door

Zoek het algemeen voorschrift van de rij a_{n+1}-2a_n=F_n met a_0=0, waarbij F_n de rij van Fibonacci is met F_0=0,F_1=1,F_2=1,...

Antwoord

  • Het rechterlid van de formule is niet nul, zodat we geen lineaire recurrente rij krijgen. Maar dat kunnen we verhelpen door ook te schrijven dat  a_{n+2}-2a_{n+1}=F_{n+1} en a_{n+3}-2a_{n+2}=F_{n+2}.
  • De laatste vergelijking verminderd met de vorige en de opgave geeft, gebruikmakend van de eigenschappen van de rij van Fibonacci, dat a_{n+3}-3a_{n+2}+a_{n+1}+2a_n=0.
  • De karakteristieke vergelijking van deze lineaire recurrentie is x^3-3x^2+x+2=(x-2)(x^2-x-1). Volgens de theorie van de lineaire recurrente rijen is dan a_n=A.2^n+B.\alpha^n+C.\beta^n. Hierbij is \alpha=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} en \beta=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}. We weten, ook door gebruik te maken van de theorie van de lineaire recurrentie, dat F_n=\dfrac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}.
  • In a_n=A.2^n+B.\alpha^n+C.\beta^n, bepalen we A,B en C door gebruik te maken van a_0=0,a_1=0 en a_2=1. We vinden A=1, B=-\dfrac{\alpha^2}{\alpha-\beta} en C=\dfrac{\beta^2}{\alpha-\beta}.
  • Bijgevolg is a_n=2^n-F_{n+2}.

Problemen?

Geplaatst op door

Terwijl de meeste mensen problemen liever uit de weg gaan, worden wiskundigen er juist onweerstaanbaar door aangetrokken.

Lijsten met problemen zijn geen nieuw verschijnsel inde wiskunde. In de Griekse oudheid had men de drie klassieke problemen over constructies met passer en liniaal ( de verdubbeling van de kubus, de kwadratuur van de cirkel en de driedeling van een hoek).

kwadratuur

Befaamd zijn ook de 23  problemen die David Hilbert zijn gehoor voorlegde  in 1900 op het tweede internationaal Wiskunde Congres in Parijs : de millennium problemen. Nu, ruim een eeuw later, zijn de meeste van de 23 problemen van Hilbert opgelost.

hilbert

Zo een lijst met problemen kan je bekijken als een uitbreidingsplan voor het bouwwerk van de wiskunde. Hilberts lijst was een bouwplan voor een hele eeuw, op wereldschaal.

Op kleinere schaal bestaan er ook veel lijsten met problemen. We kunnen die beschouwen als een uitbreidingsplan van onze eigen wiskunde kennis. De ervaring die we opdoen bij het behandelen van die problemen verruimt onze wiskunde ervaring. In dit deel van deze blog willen we technieken en voorbeelden aanreiken om een betere probleemoplosser te worden.