Geef alle rechthoekige driehoeken waarvan de zijden natuurlijke getallen zijn en waarvan de oppervlakte tweemaal de omtrek is
Antwoord
Tag archieven: problem solving
en 
. Hierbij zijn u en v onderling ondeelbaar en is één ervan even en de ander oneven. Bovendien is d de grootste gemene deler van de drie zijden en 
.
of uitgedrukt in u en v : 
.
zeker oneven is en een deler is van 4 moet 
. Ook moet 
of 4. Hieruit volgt dat 
of 5 en 
of 1.
en 
.Nootje 4
De som van twee positieve gehele getallen getallen is 2019. Bewijs dat hun product nooit deelbaar is door 2019.
Antwoord
![\[x^2-2019x+2019n=0\]](https://usercontent.one/wp/www.wiskundemagie.be/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f41dd8136d2d1aa43ba770b00ff593e6_l3.png?media=1678572382 "Rendered by QuickLaTeX.com")
. Dit is een volkomen kwadraat als 
. Maar dan is 
en dit is onmogelijk. Nootje 1
Kan je twee irrationale getallen vinden waarbij hun som en hun produkt rationaal zijn?
Antwoord
en 
. Omdat 
een irrationaal getal is, zijn a en b allebei irrationaal.
is rationaal.
is ook rationaal.Opgave 23
Hoeveel kwadraten komen er voor in de eerste duizend termen van de rij 
?
Antwoord
en 
leveren onmiddellijk kwadraten op, maar daarna duurt het precies wel even voor je terug een kwadraat krijgt. Zijn er nog wel?
moeten tot de restklasse 7 modulo 9 behoren en een kwadraat zijn. Opdat 
is het nodig en voldoende dat 
.
:
of 
.
of 
. Als 
, dan moet 
. Dit levert ons al 11 oplossingen.
of 
. Als 
. Dit geeft ons al 10 oplossingen.Ongelijkheid van Jensen
Voor elke functie f waarvan de grafiek ‘hol’ naar onder is , of dus convex (d.w.z dat het verbindingstuk van twee punten van de grafiek altijd boven de grafiek ligt ) geldt volgende ongelijkheid:
![\[f(\dfrac{a_1+a_2+\cdots+\a_n}{n} )\leq \dfrac{f(a_1)+f(a_2)+\cdots+f(a_n)}{n}\]](https://usercontent.one/wp/www.wiskundemagie.be/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cf47ee5b37797ec7ee8259d1d651dfb8_l3.png?media=1678572382 "Rendered by QuickLaTeX.com")
Deze ongelijkheid staat bekend als de ongelijkheid van Jensen, naar de Deense wiskundige Johan Willem Ludwig Valdemar Jensen (1859-1925).
Uiteraard is er een analoge formule voor concave functies.
Voorbeeld: Als a,b en c positieve hoeken zijn met een som gelijk aan 
, dan is 
.
Tussen 0 en is de tangensfunctie convex, dus geldt er volgens Jensen dat 
. Hieruit volgt dat 
. Vermenigvuldigen met 3 geeft het gevraagde antwoord.