Wiskunde is leuk

Nootje 7

Geplaatst op 24 maart 2019 door admin

Antwoord

We weten dat $b=\dfrac{1}{2}(P(1)-P(-1))$ .
Nu zijn zowel $P(1)$ als $P(-1)$ volgens het gegeven kleiner dan of gelijk aan 1, dus is $b \leq \dfrac{1}{2}(1+1)=1$ .
De maximale waarde voor b is dus 1.
Neem $P(x)=\dfrac{1}{2}(x+1)^2-1$ . Omdat $0\leq x+1\leq 2$ is $|P(x) | \leq 1$ . Bovendien is na uitwerking $P(x)=\dfrac{1}{2}x^2+x-\dfrac{1}{2}$ , zodat $b=1$ .

Geplaatst op 7 maart 2019 door admin

Antwoord

Neem g(x) = f(x) – 5. Dan heeft g(x) 4 verschillende nulwaarden: a,b,c en d.
We kunnen dus schrijven dat g(x) = (x – a)(x – b)(x – c)(x – d)h(x) ofwel f(x) = (x – a)(x – b)(x – c)(x – d)h(x) + 5. Hierbij is h(x) een veelterm met gehele coëfficiënten.
Veronderstel dat er toch een y zou bestaan zodat f(y) = 8, dan zou
(y – a)(y – b)(y – c)(y – d)h(y) = 3.
De 5 factoren in het linkerlid zijn allen gehele getallen, waarvan de 4 eerste zeker al verschillend zijn. Omdat 3 = 1.3 of 3= (-1). (-3) kan je nooit 4 verschillende factoren hebben.
De waarde 8 kan dus nooit bereikt worden door f(x).

Geplaatst op 9 februari 2019 door admin

Stel die 4 opeenvolgende getallen voor door 2k, 2k+2, 2k+4 en 2k+6.
De som van d eandere getallen is dan $\frac{1}{2}n(n+1)-(8k+12)$ .
Het gemiddelde is dan $\frac{\frac{1}{2}n(n+1)-(8k+12)}{n-4}=\frac{825} {16}$ .
Hieruit volgt dat $825(n-4)=8n(n+1)-16(8k+12)$ .
8 is een deler van het rechterlid en dus ook van het linkerlid. Bijgevolg bestaat er een geheel getal m waarvoor $n-4=8m$ . Ingevuld in vorige vergelijking vinden we dan dat $825m=64m^2+72m-16k-4$ .
4 deelt het rechterlid en dus ook het linkerlid, dus bestaat er een geheel getal l zodat $m=4l$ . Invullen geeft dan $256l^2-753l=4k+1$ .
Nu is $2k+6\leq n=8m+4=32l+4$ . Bijgevolg is $k\leq 16l-1$ en dus ook $4k+1\leq 64l-3$ .
Uit vorige twee punten volgt dan dat $256l^2-753l\leq 64l-3$ of
$256l^2-817l+3\leq 0$
Enkel $l=1,2,3$ voldoen en omdat $4k+1=256l ^2-753l$ , zal uiteindelijk enkel $l=3$ een oplossing geven voor k, namelijk $k=11$ .
De 4 gezochte getallen zijn dan 22, 24, 26 en 28.

Geplaatst op 2 januari 2019 door admin

Antwoord

Bij een rechthoekige driehoek met gehele getallen denken we onmiddellijk aan Pythagorese drietallen. De zijden zijn van de vorm $a=d(u^2-v^2),b=2uvd$ en $c=d(u^2+v^2)$ . Hierbij zijn u en v onderling ondeelbaar en is één ervan even en de ander oneven. Bovendien is d de grootste gemene deler van de drie zijden en $u>v$ .
De voorwaarde dat de oppervlakte het dubbel is van de omtrek betekent dat $ab=4(a+b+c)$ of uitgedrukt in u en v : $(u-v)vd=4$ .
Omdat $u-v$ zeker oneven is en een deler is van 4 moet $u-v=1$ . Ook moet $v=1,2$ of 4. Hieruit volgt dat $u=2,3$ of 5 en $d=4,2$ of 1.
We vinden dus 3 driehoeken die voldoen aan de gegeven voorwaarden: $(12,16,20),(10,24,26)$ en $(9,40,41)$ .

Geplaatst op 17 december 2018 door admin

Antwoord

Veronderstel dat het product van de getallen toch deelbaar is door 2019, dan is het product gelijk aan 2019.n
De twee getallen zijn dan oplossingen van de vierkantsvergelijking
$x^2-2019x+2019n=0$
De discriminant D moet dus een volkomen kwadraat zijn. Nu is $D=2019^2-4\times 2019n=3\times 673(2019-4n)$ . Dit is een volkomen kwadraat als $2019-4n=3 \times 673 k^2$ . Maar dan is $2019-4n=2019k^2\geq 2019$ en dit is onmogelijk.