Tag archieven: problem solving

Nootje 10

Geplaatst op door

Wat is de som van de omgekeerden van de wortels van x^4+x^3+2x^2-3x+12=0?

Antwoord

Nootje 9

Geplaatst op door

Als de omtrek van een driehoek gelijk is aan 2, bewijs dan dat niet alle hoogtelijnen langer kunnen zijn dan \frac{1}{\sqrt{3}}.

Antwoord

Nootje 7

Geplaatst op door

Zoek de maximale waarde van b in P(x)=ax^2+bx+c, als a,b en c reële getallen zijn en |P(x)|\leq 1 voor -1 \leq x\leq 1. Geef ook een veelterm die deze maximale waarde van b bereikt.

Antwoord

Nootje 6

Geplaatst op door

F(x) is een veelterm met gehele coëfficiënten en waarvan de coëfficiënt van de hoogste graads term 1 is. Bovendien neemt f(x) de waarde 5 aan voor 4 verschillende gehele getallen. Bewijs dat f(x) nooit de waarde 8 kan aannemen.

Antwoord

Opgave 27

Geplaatst op door
Uit {1,2,…,n} worden 4 opeenvolgende even getallen verwijderd. De overgebleven getallen hebben een gemiddelde van 51+ 9/16. Bepaal alle viertallen opeenvolgende even getallen die hieraan voldoen.
Antwoord
  • Stel die 4 opeenvolgende getallen voor door 2k, 2k+2, 2k+4 en 2k+6.
  • De som van d eandere getallen is dan \frac{1}{2}n(n+1)-(8k+12) .
  • Het gemiddelde is dan \frac{\frac{1}{2}n(n+1)-(8k+12)}{n-4}=\frac{825} {16}.
  • Hieruit volgt dat 825(n-4)=8n(n+1)-16(8k+12).
  • 8 is een deler van het rechterlid en dus ook van het linkerlid. Bijgevolg bestaat er een geheel getal m waarvoor n-4=8m. Ingevuld in vorige vergelijking vinden we dan dat 825m=64m^2+72m-16k-4.
  • 4 deelt het rechterlid en dus ook het linkerlid, dus bestaat er een geheel getal l zodat m=4l. Invullen geeft dan 256l^2-753l=4k+1.
  • Nu is 2k+6\leq n=8m+4=32l+4. Bijgevolg is k\leq 16l-1 en dus ook 4k+1\leq 64l-3.
  • Uit vorige twee punten volgt dan dat 256l^2-753l\leq 64l-3 of

        \[256l^2-817l+3\leq 0\]

  • Enkel l=1,2,3 voldoen en omdat 4k+1=256l ^2-753l, zal uiteindelijk enkel l=3 een oplossing geven voor k, namelijk k=11.
  • De 4 gezochte getallen zijn dan 22, 24, 26 en 28.