Zuid-Afrikaanse wiskundeolympiade

Geplaatst op 28 augustus 2019 door admin

In Zuid-Afrika is men zich bewust dat de welvaart van Zuid-Afrika mede bepaald wordt door hoog gekwalificeerd wiskunde personeel. Twee organisaties SAMS ( South African Mathematical Society) en Amesa (Association for Mathematics Education of South Africa) besloten hun krachten te bundelen op het gebied van wiskunde ontwikkeling en onderwijs. Zo werd in 2004 de SAMF (South African Mathematical Foundation) opgericht. Het kantoor wordt aangedreven door een uitstekend team van professionals die samenwerken met de overheid, scholen en andere belanghebbenden om het wiskundeonderwijs in Zuid-Afrika te verbeteren. Op hun website vindt je info over de Zuid-Afrikaans wiskunde olympiade en andere competities of trainingsmateriaal.

Roemeense wiskunde olympiade

Geplaatst op 18 mei 2019 door admin

Op 15 september 1895 werd Romanian Mathematical Society (Societatea de Stiinte Matematice din Romania) opgericht. Dit is ook de datum van de eerste uitgave van de Gazeta Matematica. Soms neemt men ook 1910 als stichtingsdatum. Dit tijdschrift werd opgericht door 5 jonge ingenieurs die bezorgd waren over de gebrekkige kennis van de wiskunde. Het tijdschrift mikte op uitdagende lezers en interessante problemen om alzo een dieper inzicht te verwerven in de schoolse wiskunde. De nadruk werd gelegd op allerlei problem solving competities die tenslotte uitmondden in de eerste nationale wiskunde olympiade in 1949. Deze werden gehouden in verschillende ronden ( district-nationaal) en waren toegankelijk voor leerlingen van graad 7 tot 12.

Roemenië stond ook aan de wieg van de IMO. Er werd toen immers ook beslist een internationale wiskunde olympiade te organiseren. Roemenië deed dat in 1959 ( 1ste IMO ), 1960, 1969, 1978, 1999 en 2018.

Nootje 10

Geplaatst op 13 mei 2019 door admin

Wat is de som van de omgekeerden van de wortels van $x^4+x^3+2x^2-3x+12=0$ ?

Antwoord

Noem de wortels a,b,c en d. Ze berekenen lijkt te moeilijk.
We zoeken $S=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}$ .
Uitrekenen geeft: $S=\frac{bcd+acd+abd+abc}{abcd}$
Nu weten we dat het product van de oplossingen van $x^4+px^3+qx^2+rx+s=0$ gelijk is aan s. Bijgevolg is $abcd=12$ .
De som van alle producten van 3 wortels van $x^4+px^3+qx^2+rx+s=0$ is -r. Bijgevolg is $bcd+acd+abd+abc=3$ .
De gevraagde som $S=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$ .

Nootje 9

Geplaatst op 29 april 2019 door admin

Als de omtrek van een driehoek gelijk is aan 2, bewijs dan dat niet alle hoogtelijnen langer kunnen zijn dan $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

Antwoord

Noteer de drie zijden van de driehoek door $a,b$ en $c$ en de hoogtelijnen door $h_a,h_b$ en $h_c$ .
Er moet dus minstens 1 hoogtelijn kleiner zijn dan $\frac{1}{\sqrt{3}}$ . De kleinste hoogtelijn staat loodrecht op de grootste zijde.
Veronderstel dat $a$ de grootste zijde is dan is $a\geq \frac{2}{3}$ .
De oppervlakte van de driehoek is gelijk aan $\frac{1}{2}a.h_a$ , maar ook gelijk aan $\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ . Hierin is $p$ de halve omtrek en dus is $p=1$ .
Bijgevolg is $\frac{1}{2}a.h_a = \sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)}$ of $h_a=\frac{2}{a}\sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)}\leq 3\sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)}$ .
Gebruik nu de ongelijkheid van het meetkundig en rekenkundig gemiddelde : $\sqrt[3]{(1-a)(1-b)(1-c)}\leq \frac{1}{3}(1-a+1-b+1-c)=\frac{1}{3}$ .
Hieruit volgt dat $\sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)} \leq \frac{1}{\sqrt{27}}$ .
Ten slotte is dus $h_a \leq 3.\frac{1}{\sqrt{27}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

Nootje 7

Geplaatst op 24 maart 2019 door admin

Zoek de maximale waarde van b in $P(x)=ax^2+bx+c$ , als a,b en c reële getallen zijn en $|P(x)|\leq 1$ voor $-1 \leq x\leq 1$ . Geef ook een veelterm die deze maximale waarde van b bereikt.

Antwoord

We weten dat $b=\dfrac{1}{2}(P(1)-P(-1))$ .
Nu zijn zowel $P(1)$ als $P(-1)$ volgens het gegeven kleiner dan of gelijk aan 1, dus is $b \leq \dfrac{1}{2}(1+1)=1$ .
De maximale waarde voor b is dus 1.
Neem $P(x)=\dfrac{1}{2}(x+1)^2-1$ . Omdat $0\leq x+1\leq 2$ is $|P(x) | \leq 1$ . Bovendien is na uitwerking $P(x)=\dfrac{1}{2}x^2+x-\dfrac{1}{2}$ , zodat $b=1$ .

Wiskunde is leuk

Tag archieven: problem solving

Zuid-Afrikaanse wiskundeolympiade

Roemeense wiskunde olympiade

Nootje 10

Wat is de som van de omgekeerden van de wortels van $x^4+x^3+2x^2-3x+12=0$ ?

Nootje 9

Als de omtrek van een driehoek gelijk is aan 2, bewijs dan dat niet alle hoogtelijnen langer kunnen zijn dan $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

Nootje 7

Zoek de maximale waarde van b in $P(x)=ax^2+bx+c$ , als a,b en c reële getallen zijn en $|P(x)|\leq 1$ voor $-1 \leq x\leq 1$ . Geef ook een veelterm die deze maximale waarde van b bereikt.

Wat is de som van de omgekeerden van de wortels van ?

Als de omtrek van een driehoek gelijk is aan 2, bewijs dan dat niet alle hoogtelijnen langer kunnen zijn dan .

Zoek de maximale waarde van b in , als a,b en c reële getallen zijn en voor . Geef ook een veelterm die deze maximale waarde van b bereikt.

Wat is de som van de omgekeerden van de wortels van $x^4+x^3+2x^2-3x+12=0$ ?

Als de omtrek van een driehoek gelijk is aan 2, bewijs dan dat niet alle hoogtelijnen langer kunnen zijn dan $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

Zoek de maximale waarde van b in $P(x)=ax^2+bx+c$ , als a,b en c reële getallen zijn en $|P(x)|\leq 1$ voor $-1 \leq x\leq 1$ . Geef ook een veelterm die deze maximale waarde van b bereikt.