Tag archieven: problem solving

Bewijzen met verhaaltjes

Geplaatst op door

Hoe bewijs je volgende formule? 

    \[k(k-1)\binom{n}{k}=n(n-1)\binom{n-2}{k-2}\]

Het gaat zeer snel door gebruik te maken van de definitie van  binomiaalcoëfficiënten. Maar er is ook een andere manier, die je ook kan gebruiken als het gebruik van de definitie wat ingewikkelder ligt. We verzinnen gewoon een verhaaltje …

Je wilt op school met n leerlingen een leerlingenraad van k personen oprichten, waarbij een voorzitter en een ondervoorzitter moeten aangeduid worden.

  • Het linkerlid van bovenstaande vergelijking komt overeen met volgende procedure: kies eerst k leden uit de n leerlingen. Dit  kan op \binom{n}{k} manieren. Kies in die groep van k gekozenen een voorzitter ( k mogelijkheden) en een ondervoorzitter ( k-1 mogelijkheden).
  • Het rechterlid correspondeert met de procedure: kies uit de n leerlingen eerst een voorzitter ( n mogelijkheden), dan een ondervoorzitter( n-1 mogelijkheden) en vul tenslotte aan tot je een groep van k leden hebt. Je moet dus nog k-2 leerlingen kiezen uit de n-2 beschikbare (\binom{n-2}{k-2} mogelijkheden).
  • Aangezien beide procedures hetzelfde probleem oplossen , zijn linkerlid en rechterlid gelijk aan elkaar.

Nootje 13

Geplaatst op door

De zijden van de driehoek ABC hebben gehele getallen als lengte en de omtrek is 7. Bepaal alle mogelijke lengtes van zijde AB.

Antwoord

  • Volgens de driehoeksongelijkheid is de grootst mogelijke zijde 3. Want stel dat het 4 zou zijn dan blijft er nog voor de som van de andere zijden 3 over en omdat elke zijde kleiner is dan de som van de andere twee, kan dat niet
  • Ze kunnen ook niet alle drie een lengte kleiner dan 3 hebben omdat de omtrek anders nooit 7 kan zijn.
  • Er is dus een zijde met lengte 3. Voor de andere zijden heb je dan 2 en 2 of 1 en 3.
  • Bijgevolg kan AB lengte 1,2 of 3 hebben.

Nootje 12

Geplaatst op door

a,b,c,d en e zijn 5 verschillende gehele getallen zodat hun product 45 is. Wat is dan hun som?

Antwoord

  • We weten dat 45 = 3 x 3 x 5.
  • Om dat we 45 schrijven als een product van 5 verschillende getallen moeten elk van zijn priemfactoren voorkomen en ook \pm 1.
  • -3 en -1,  mogen maar 1 keer voorkomen, dus is

        \[45=(-1) \times 1 \times (-3) \times 3 \times 5\]

  • De som van die 5 getallen is dan 5.

Telescopische som

Geplaatst op door

Eén van de technieken bij problem-solving bestaat eruit het probleem van een andere kant te bekijken of een eenvoudiger probleem te nemen. Illustreren we dit even met volgend probleem: Vereenvoudig:

    \[\sum_{n=1}^{2020}\tan n\tan(n+1)\]

  • We gaan het product herschrijven als een som zodat bij het sommeren van al die termen ze één voor één tegen elkaar wegvallen , op de eerste en laatste na.
  • Gebruik hiervoor de formule voor het berekenen van de tangens van een verschil: \tan((n+1)-n)=\tan 1=\frac{\tan(n+1)-\tan n}{1+\tan(n+1)\tan n}.
  • Hieruit volgt dat \tan n\tan(n+1)=\frac{\tan (n+1)-\tan n }{\tan 1}-1
  • Invullen in de opgave geeft :

        \[\frac{\tan 2021-\tan 1}{\tan 1}-2020=\frac{\tan 2021}{\tan 1}-2021\]