Tag archieven: problem solving

Toepassingen op stelling van Fermat

Geplaatst op door

Nog even in herinnering brengen, de kleine stelling van Fermat luidt: Als p een priemgetal is Ena en p onderling ondeelbaar zijn dan is

    \[a^{p-1}\equiv 1 \mod p\]

 of

    \[a^p \equiv a \mod p\]

 

Nu een paar toepassingen:

  • n^{13}-n is altijd deelbaar door 2730. Bewijs.
    Spoiler

    • ]We weten dat 2730 = 2.3.5.7.13. Te bewijzen is dan dat n^{13}-n\equiv 0 \mod 2730.
    • Het volstaat dus te bewijzen dat de opgave deelbaar is door de priemfactoren 2,3,5,7,13.
    • En inderdaad n^{13}-n\equiv 0 \mod 2,3,5,7 en 13 met behulp van de stelling van Fermat



  • 5^p-2*3^p+1 is een p-voud als p priem is. Bewijs. 
    Spoiler
    • Modulo p is 5^p\equiv 5 en 3^p÷equiv 3
    • Dus is 5^p-2*3^p+1 \ 5-2*3+1\equiv 0:mod p.




  • 1492^n-1771^n-1863^n+2141^n is steeds deelbaar door 1946. Bewijs dit  en volgende opgaven zelf!
  • n ^2+2n+12 is nooit deelbaar door 112. Tip : vul alle waarden van n in modulo 7.
  • Als n oneven is, dan eindigt de decimale schrijfwijze van 2^{2n}(2^{2n+1}-1) steeds op 28.
  • Voor welke n is n^{n+1}+(n+1)^n een drievoud?

            

Bewijzen met verhaaltjes

Geplaatst op door

Hoe bewijs je volgende formule? 

    \[k(k-1)\binom{n}{k}=n(n-1)\binom{n-2}{k-2}\]

Het gaat zeer snel door gebruik te maken van de definitie van  binomiaalcoëfficiënten. Maar er is ook een andere manier, die je ook kan gebruiken als het gebruik van de definitie wat ingewikkelder ligt. We verzinnen gewoon een verhaaltje …

Je wilt op school met n leerlingen een leerlingenraad van k personen oprichten, waarbij een voorzitter en een ondervoorzitter moeten aangeduid worden.

  • Het linkerlid van bovenstaande vergelijking komt overeen met volgende procedure: kies eerst k leden uit de n leerlingen. Dit  kan op \binom{n}{k} manieren. Kies in die groep van k gekozenen een voorzitter ( k mogelijkheden) en een ondervoorzitter ( k-1 mogelijkheden).
  • Het rechterlid correspondeert met de procedure: kies uit de n leerlingen eerst een voorzitter ( n mogelijkheden), dan een ondervoorzitter( n-1 mogelijkheden) en vul tenslotte aan tot je een groep van k leden hebt. Je moet dus nog k-2 leerlingen kiezen uit de n-2 beschikbare (\binom{n-2}{k-2} mogelijkheden).
  • Aangezien beide procedures hetzelfde probleem oplossen , zijn linkerlid en rechterlid gelijk aan elkaar.

Nootje 13

Geplaatst op door

De zijden van de driehoek ABC hebben gehele getallen als lengte en de omtrek is 7. Bepaal alle mogelijke lengtes van zijde AB.

Antwoord

  • Volgens de driehoeksongelijkheid is de grootst mogelijke zijde 3. Want stel dat het 4 zou zijn dan blijft er nog voor de som van de andere zijden 3 over en omdat elke zijde kleiner is dan de som van de andere twee, kan dat niet
  • Ze kunnen ook niet alle drie een lengte kleiner dan 3 hebben omdat de omtrek anders nooit 7 kan zijn.
  • Er is dus een zijde met lengte 3. Voor de andere zijden heb je dan 2 en 2 of 1 en 3.
  • Bijgevolg kan AB lengte 1,2 of 3 hebben.

Nootje 12

Geplaatst op door

a,b,c,d en e zijn 5 verschillende gehele getallen zodat hun product 45 is. Wat is dan hun som?

Antwoord

  • We weten dat 45 = 3 x 3 x 5.
  • Om dat we 45 schrijven als een product van 5 verschillende getallen moeten elk van zijn priemfactoren voorkomen en ook \pm 1.
  • -3 en -1,  mogen maar 1 keer voorkomen, dus is

        \[45=(-1) \times 1 \times (-3) \times 3 \times 5\]

  • De som van die 5 getallen is dan 5.