Tag archieven: problem solving

Bericht navigatie

Geplaatst op 8 oktober 2021 door admin

Als p,q en r priemgetallen zijn groter dan 3, bewijs dan dat $p^2+q^2+r^2$ geen priemgetal is.

Antwoord

Elk priemgetal x is van de vorm $3k\pm 1$ .
Dan is $x^2$ van de vorm $3l+1$ .
De som van 3 priemgetallen is dan : $p^2+q^2+r^2=3l+1+3n+1+3m+1=3(l+m+n+1)$ .
Dus is $p^2+q^2+r^2$ niet priem.

Als $2^k+1$ een priemgetal is, dan is k een macht van 2. Bewijs.

Antwoord

Stel dat k geen macht van 2 is, dan is $k=n.2^q$ , waarbij n zeker oneven is.
Nu is $A= 2^k+1=2^{n.2^q}=\Big(2^{(2^q)}\Big)^n+1$ .
Algemeen geldt er dat , bij oneven n, $x^n+1$ steeds deelbaar is door $x+1$ .
Bijgevolg is A deelbaar door $2^{(2^q)}+1$ en hebben we een tegenspraak.
Dus is k wel een macht van 2.

Geplaatst in Opgaven | Getagged bewijs uit het ongerijmde, getaltheorie, oefeningen priemgetallen, priem getallen, problem solving

Nootje 24

Geplaatst op 18 juli 2021 door admin

De zijden van een driehoek zijn 18,24 en 30. Vind de oppervlakte van de driehoek gevormd door het zwaartepunt en de middelpunten van om- en ingeschreven cirkel.

Antwoord

Omdat 18,24 en 30 gelijke veelvouden zijn van 3,4,en 5 is de gegeven driehoek rechthoekig.
We kunnen er dus voor zorgen dat de punten A,B en C gegeven zijn door A(0,0), B(0,18) en C(24,0).
Het zwaartepunt Z vind door de coördinaten op te tellen en te delen door 3, dus Z(8,6).
Omdat de driehoek rechthoekig is , ligt het middelpunt van de ongeschreven cirkel O, in het midden van de schuine zijde. Bijgevolg is O(12,9).
Als we het middelpunt I van de ingeschreven cirkel verbinden met de hoekpunten en de oppervlakte van de 3 gevormde driehoeken optellen, vinden we dat de oppervlakte van de gegeven driehoek gelijk is aan de halve omtrek, vermenigvuldigd met de straal r van de ingeschreven cirkel. Hieruit vinden we dat r = 6 en dus is I(6,6).
De driehoek ZOI heeft als basis $|ZI|=2$ en als hoogte $h=9-6=3$ . De gevraagde oppervlakte bedraagt dus 3 oppervlakte eenheden.

Geplaatst in Kleine nootjes | Getagged ingeschreven cirkel, kleine nootjes, omgeschreven cirkel, oppervlakte driehoek, problem solving, rechthoekige driehoek

Nootje 23

Geplaatst op 15 juli 2021 door admin

Bereken de oppervlakte van het gebied bepaald door
$|x|+|y|+|x+y|\leq 1$

Antwoord

In het eerste kwadraat is x>0 en y>0 en dus ook x+y>0. De gegeven ongelijkheid wordt dan $x+y\leq \frac{1}{2}$ .
In het derde kwadrant is x<0 en y<0 en dus ook x+y<0. De ongelijkheid wordt dan $x+y\geq -\frac{1}{2}$ .
In het tweede kwadrant is x<0 en y>0. Als x+y>0 wordt de ongelijkheid $y\leq \frac{1}{2}$ . Is echter x+y<0, dan verkrijgen we $x\geq -\frac{1}{2}$
In het vierde kwadrant tenslotte is x>0 en y<0. Als x+y>0, dan is de ongelijkheid $x\leq \frac{1}{2}$ . Is daarentegen x+y<0, dan krijgen we $y\geq - \frac{1}{2}$
Het stelsel van al die ongelijkheden geeft volgend gebied in het vlak:
In deze figuur herkennen we gemakkelijk drie vierkanten met zijde 1. De oppervlakte is dus 3 oppervlakte eenheden

Geplaatst in Kleine nootjes | Getagged absolute waarde, kleine nootjes, ongelijkheden, oppervlakte, problem solving

Nootje 22

Geplaatst op 9 juli 2021 door admin

P is een punt binnen een rechthoek ABCD. Verder is |PA|=2, |PB|=3 en |PC|=10. Bereken |PD|.

Antwoord

Rechthoekige driehoek, dus rechte hoeken, dus Pythagoras?
We vinden $a^2+c^2=4$ , $b^2+c^2=9$ , $b^2+d^2=100$ en $a^2+d^2=x^2$ .
Neem vgl 1 – vgl 2+vgl 3- vgl 4 en we vinden $0=4-9+100-x^2$ .
Hieruit volgt $x^2=95$ of $x=\sqrt{95}$ .

Geplaatst in Kleine nootjes | Getagged kleine nootjes, problem solving, Pythagoras, rechhoek

Opgave 31

Geplaatst op 3 juli 2021 door admin

Het getal $(5^2+9^2)(12^2+17^2)$ kan geschreven worden als som van twee kwadraten van positieve gehele getallen. Geef zo een schrijfwijze.

Antwoord

We zouden de vraag algemener kunnen stellen: schrijf $(a^2+b^2)(c^2+d^2)$ als som van twee kwadraten.
Het is gemakkelijk aan te tonen dat dit product gelijk is aan $(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$ of $(ac-bd)^2+(ad+bc)^2$ .
Zo vinden we dat $(5^2+9^2)(12^2+17^2)=93^3+193^3=213^2+23^2$ .
Je kan de oplossing ook vinden door gebruik te maken van complexe getallen.
Zo is $5^2+9^2$ het kwadraat van de modulus van $5+9i$ .
Omdat de modulus van een product gelijk is aan het product van de moduli is $(5^2+9^2)(12^2+17^2)$ het kwadraat van de modulus van o.a. $(5+9i)(12+17i)=-93+193i$ . Zo bekom je hetzelfde resultaat.

Geplaatst in Opgaven | Getagged complexe getallen, getallen raadsel, modulus complex getal, problem solving

Bericht navigatie

← Oudere berichten

Nieuwere berichten →

Wiskunde is leuk

Tag archieven: problem solving

2 opgaven over priemgetallen

Nootje 24

De zijden van een driehoek zijn 18,24 en 30. Vind de oppervlakte van de driehoek gevormd door het zwaartepunt en de middelpunten van om- en ingeschreven cirkel.

Nootje 23

Bereken de oppervlakte van het gebied bepaald door
$|x|+|y|+|x+y|\leq 1$

Nootje 22

P is een punt binnen een rechthoek ABCD. Verder is |PA|=2, |PB|=3 en |PC|=10. Bereken |PD|.

Opgave 31

Het getal $(5^2+9^2)(12^2+17^2)$ kan geschreven worden als som van twee kwadraten van positieve gehele getallen. Geef zo een schrijfwijze.

De zijden van een driehoek zijn 18,24 en 30. Vind de oppervlakte van de driehoek gevormd door het zwaartepunt en de middelpunten van om- en ingeschreven cirkel.

Bereken de oppervlakte van het gebied bepaald door

P is een punt binnen een rechthoek ABCD. Verder is |PA|=2, |PB|=3 en |PC|=10. Bereken |PD|.

Het getal kan geschreven worden als som van twee kwadraten van positieve gehele getallen. Geef zo een schrijfwijze.

Bereken de oppervlakte van het gebied bepaald door
$|x|+|y|+|x+y|\leq 1$

Het getal $(5^2+9^2)(12^2+17^2)$ kan geschreven worden als som van twee kwadraten van positieve gehele getallen. Geef zo een schrijfwijze.