Nootje 22

Geplaatst op 9 juli 2021 door admin

Antwoord

Opgave 31

Geplaatst op 3 juli 2021 door admin

Antwoord

We zouden de vraag algemener kunnen stellen: schrijf $(a^2+b^2)(c^2+d^2)$ als som van twee kwadraten.
Het is gemakkelijk aan te tonen dat dit product gelijk is aan $(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$ of $(ac-bd)^2+(ad+bc)^2$ .
Zo vinden we dat $(5^2+9^2)(12^2+17^2)=93^3+193^3=213^2+23^2$ .
Je kan de oplossing ook vinden door gebruik te maken van complexe getallen.
Zo is $5^2+9^2$ het kwadraat van de modulus van $5+9i$ .
Omdat de modulus van een product gelijk is aan het product van de moduli is $(5^2+9^2)(12^2+17^2)$ het kwadraat van de modulus van o.a. $(5+9i)(12+17i)=-93+193i$ . Zo bekom je hetzelfde resultaat.

Geplaatst op 12 mei 2021 door admin

Antwoord

Proberen we eens uit met 4 getallen en noteer een schikking op de cirkel door bijvoorbeeld ( 1,3,2,4). De waarde van S is dan (3-1)+(3-2)+(4-2)+(4-1)=8.
Als we de schikking (1,2,3,…,20) gebruiken, dan is het positief getelde verschil va twee buren altijd 1 behalve bij de buren 1 en 20. Dus s=19.1+19=38. Dit is duidelijk de minimumwaarde.
Noteer de getallen door $a_1,a_2,...,a_{20}$ . Dan is elk verschil van de vorm $\pm (a_{i+1}-a_i)$ .
Bijgevolg is $S=k_1a_1+k_2a_2+....+k_{20}a_{20}$ met $k_i\in \{2,-2,0\}$ en waarvan de som van alle $k_i$ gelijk is aan 0.
Dan wordt S gemaximaliseerd door $h_1=h_2=...=h_{10}=-2$ en $h_{11}=h_{12}=...=h_{20}=2$ en dan is $S=-2(1+2+...+10)+2(11+12+...+20)=100$ .
Dit kan je effectief verkrijgen door volgende schikking: (1,20,2,19,3,18,…,10,11).

Geplaatst op 14 augustus 2020 door admin

Antwoord

Als x positief is wordt de eerste vergelijking $x^2-3x+2=0$ . De oplossingen hiervan zijn 1 en 2.
Als x negatief is wordt de eerste vergelijking $x^2+3x+2=0$ . De oplossingen hiervan zijn – 1 en – 2.
Een veeltermvergelijking met oplossingen 1,2,-1,-2 is van de vorm $(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)=0$ of $(x^2-1)(x^2-4)=0$ .
Uitgewerkt geeft dit $x^4-5x^2+4=0$ , zodat $a=5$ .

Geplaatst op 23 juli 2020 door admin

Nog even in herinnering brengen, de kleine stelling van Fermat luidt: Als p een priemgetal is Ena en p onderling ondeelbaar zijn dan is

$a^{p-1}\equiv 1 \mod p$

$a^p \equiv a \mod p$

Nu een paar toepassingen:

is altijd deelbaar door 2730. Bewijs.
Spoiler
- ]We weten dat 2730 = 2.3.5.7.13. Te bewijzen is dan dat $n^{13}-n\equiv 0 \mod 2730$ .
- Het volstaat dus te bewijzen dat de opgave deelbaar is door de priemfactoren 2,3,5,7,13.
- En inderdaad $n^{13}-n\equiv 0 \mod 2,3,5,7$ en 13 met behulp van de stelling van Fermat
is een p-voud als p priem is. Bewijs.
Spoiler
- Modulo p is $5^p\equiv 5$ en $3^p÷equiv 3$
- Dus is $5^p-2*3^p+1 \ 5-2*3+1\equiv 0:mod p$ .
$1492^n-1771^n-1863^n+2141^n$ is steeds deelbaar door 1946. Bewijs dit en volgende opgaven zelf!
$n ^2+2n+12$ is nooit deelbaar door 112. Tip : vul alle waarden van n in modulo 7.
Als n oneven is, dan eindigt de decimale schrijfwijze van $2^{2n}(2^{2n+1}-1)$ steeds op 28.
Voor welke n is $n^{n+1}+(n+1)^n$ een drievoud?