Nootje 29

Geplaatst op 6 oktober 2022 door admin

Gegeven is een veelterm waarvan de coëfficiënten natuurlijke getallen zijn. Hoe kan je met zo weinig mogelijk evaluaties met natuurlijke getallen( berekenen van een getalwaarde) de coëfficiënten bepalen? Probeer eerst eens als alle coëfficiënten kleiner zijn dan 10.

Spoiler

Noem de veelterm P(x).
Als alle coëfficiënten kleiner zijn dan 10, volstaat 1 evaluatie. Bereken P(10).
Neem een voorbeeld als test: $P(x)=x^3+4x+8$ . Dan is $P(10)=10^3+4*10+8=1048$ . In deze uitkomst kan je de coëfficiënten inderdaad aflezen.
Wat nu als de de bovengrens van 10 niet meer geldig is. Dan hebben we 2 evaluaties nodig.
De eerste evaluatie dient om de bovengrens van de coëfficiënten te bepalen. Bereken P(1). Dan bestaat er een natuurlijk getal k zodat $P(1)<10^k$ . Bijgevolg is elke coëfficiënt kleiner dan $10^k$ .
De tweede evaluatie is dan $P(10^k)$ .
Testje? Neem $P(x)=12x^3+145x+88$ . dan is $P(1)=245<10^3$ . Neem $k=3$ en bereken $P(10^3)$ . Dit geeft 12.000.145.088. Opgedeeld in vakjes van $k=3$ cijfers krijgen we de gevraagde coëfficiënten.

Opgave 36

Geplaatst op 26 september 2022 door admin

Wanneer deelt een natuurlijk getal n de uitdrukking $10^k-1$ voor een natuurlijke k?

Spoiler

Als n een veelvoud is van 2 of 5, dan is de enige mogelijkheid de triviale oplossing k=0.
Veronderstel dus verder dat n geen priemfactor 2 of 5 bevat.
Noteer met K(n) de kleinste, van 0 verschillende waarde van k, waarvoor $n|(10^k-1)$ .
Proberen we een aantal waarden uit:
$\begin{array}{c|c} n&K(n) \\ \hline \\ 3&1\\7&6\\9&1\\11&2 \end{array}$
Stel nu dat n, geen priemfactor 2 of 5 bevat, en een deler is van $10^k-1$ , dan bestaat er een natuurlijk getal a zodat $n.a=10^k-1$ .
Noteer de decimale schrijfwijze van a als $a=a_110^{k-1}+\cdots+a_{k-1}10+a_k$ .
Dan is $a_110^{k-1}+\cdots+a_{k-1}10+a_k=\frac{10^k}{n}-\frac{1}{n}$ .
Bij deling, van deze laatste vergelijking door $10^k$ vinden we:
$0,a_1\cdots a_{k-1}a_k=\frac{1}{n}-\frac{10^{-k}}{n}$
Als we steeds maar opnieuw delen door $10^k$ en alle bekomen formules lid per lid bij elkaar optellen vinden we
$\frac{1}{n}=0,a_1\cdots a_{k-1}a_ka_1\cdots a_{k-1}a_k\cdots$
Omgekeerd is het eenvoudig te zien dat, als $\frac{1}{n}$ een decimale ontwikkeling zoals hierboven heeft, dat n een deler is van $10^k-1$ .
Besluit: Als n geen priemfactor 2 of 5 bevat, dan in K(n) gelijk aan de lengte van de periode van $\frac{1}{n}$ .
Natuurlijk is elk veelvoud van k ook een goede oplossing.

Opgave 35

Geplaatst op 14 september 2022 door admin

N is een natuurlijk getal. Een goede verdeling van N is een partitie van $\{1,2,\cdots,N\}$ in twee gescheiden, niet lege deelverzamelingen $S_1$ en $S_2$ , zo dat de som van de elementen van $S_1$ gelijk is aan het product van de elementen van $S_2$ . Bewijs dat voor $N\geq 5$ er altijd een goede verdeling bestaat.

Spoiler

Laten we eerst even op verkenning gaan en kijken of we een goede verdeling vinden voor 5,6 en 7.
Voor 5 vinden we $S_1=\{3,5\}$ en $S_2=\{1,2,4\}$ .
Voor 6 vinden we $S_1=\{3,4,5\}$ en $S_2=\{1,2,6\}$ .
Voor 7 vinden we $S_1=\{2,4,5,7\}$ en $S_2=\{1,3,6\}$ .
In deze voorbeelden vinden we $S_21$ van de vorm $\{1,x,y\}$ . Proberen we eens of dit altijd kan!
$S_1$ is het complement van $S_2$ dus we krijgen een goede verdeling als
$\frac{N(N+1)}{2}-1-x-y=xy$
Uitgewerkt geeft dit $(x+1)(y+1)=\frac{N(N+1)}{2}$ .
Als nu $N\geq 5$ en N even is , dan kunnen we voor x en y volgende oplossingen vinden:
$x=\frac{N}{2}-1 \text{ en } y=N$
Als N echter oneven is, vinden we:
$x=\frac{N+1}{2}-1 \text{ en } y=N-1$
We hebben dus een constructie bewijs gegeven van het gevraagde.

Nootje 27

Geplaatst op 14 juli 2022 door admin

Spoiler

We zoeken de grootste waarde van een natuurlijk getal x waarvoor $\sqrt{x^2-2021}$ een natuurlijk getal is. Noem dit getal n.
Dan geldt: $x^2-2021=n^2$ of $x^2-n^2=2021$
2021 heeft 4 delers: 1,43,47 en 2021.
Dus is $(x-n)(x+n)=1.2021$ of $(x-n)(x+n)=43.47$
Uit de eerste gelijkheid volgt dat $x-n=1$ en $x+n=2021$ . Bijgevolg is $x=1011$ en $n=1010$ .
Uit de tweede gelijkheid volgt dat $x-n=43$ en $x+n=47$ . Bijgevolg is $x=45$ en $n=2$ .
De grootst mogelijk waarde van x is dus 1011.