Tag archieven: problem solving

Bericht navigatie

Geplaatst op 9 januari 2024 door admin

Bewijs dat geen enkel getal van de vorm
$3^m+3^n+1$
met m en n strikt positieve gehele getallen, een volkomen kwadraat is.

Antwoord

Veronderstel dat er toch een natuurlijk getal k bestaat zodat
$3^3+3^n+2=k^2$
Dan is $3^m+3^n=(k+1)(k-1)$ . Omdat het linkerlid even is en omdat $k-1$ en $k+1$ dezelfde pariteit hebben, zijn $k-1$ en $k+1$ opeenvolgende even getallen.
Dit betekent ook dat ofwel $k-1$ ofwel $k+1$ een viervoud is. Het rechterlid $(k-1)(k+1)$ is dus deelbaar door 8.
Bij deling door 8 zijn de resten van machten van 3 ofwel 1 ofwel 3. De som $3^m+3^n$ is dus modulo 8, gelijk aan 2,4 of 6 en dus zeker niet deelbaar door 8.
Bijgevolg kan $3^m+3^n+1$ nooit een volkomen kwadraat zijn.

Geplaatst in Opgaven | Getagged getaltheorie, modulo rekenen, pariteit, problem solving

Nootje 43

Geplaatst op 24 december 2023 door admin

Zoek de oppervlakte van de getekende cirkel.

Antwoord

Noem de rechthoekzijden van de rechthoekige driehoeken a en b.
Dan is $a*b=2*24=48$ .
De totale oppervlakte van het grote vierkant is 100 plus vierkeer de rechthoekige driehoek met oppervlakte 24, dus 196. Bijgevolg is de zijde van het grote vierkant gelijk aan 16. Dus is $a+b=16$
Uit de twee betrekkingen met a en b vinden we dan dat $a=8$ en $b=6$ .
Nu weten we dat de oppervlakte van een rechthoekige driehoek gelijk is aan de straal van de ingeschreven cirkel vermenigvuldigd met de halve omtrek van de driehoek. Bijgevolg is de straal gelijk aan 2.
De oppervlakte van de getekende cirkel is $4\pi$ .

Geplaatst in Kleine nootjes | Getagged ingeschreven cirkel, problem solving, vierkanten

Nootje 41

Geplaatst op 28 september 2023 door admin

Gegeven zijn twee cirkels met stralen 4 en 11. De afstand tussen hun middelpunten is 25. Bepaal de som van de lengtes van een inwendig en een uitwendig gemeenschappelijke raaklijn.

Antwoord

Verbind de middelpunten van de cirkels met de raakpunten A en A’ en teken door A’ een evenwijdige met de rechte die de middelpunten van de twee cirkels (de centraal) verbindt.
De onderste driehoek is rechthoekig. De schuine zijde meet 25 en één van de rechthoekszijden is 11-4=7. Dus is, volgens Pythagoras y=24.
Noteer met S het snijpunt van de centraal met TT’.
De driehoeken OTS en MT’S zijn gelijkvormige rechthoekige driehoeken. Dus $\frac{25-a}{11}=\frac{a}{4}$ . Bijgevolg is $a=\frac{20}{3}$ .
Dan is $x=|TS|+|T'S|=\sqrt{a^2-4^2}+\sqrt{(25-a)^2-11^2}=20$ .
Tenslotte is de gevraagde som gelijk aan x+y=44.

Geplaatst in Kleine nootjes | Getagged gemeenschappelijke raaklijnen aan een cirkel, problem solving, Pythagoras

Nootje 40

Geplaatst op 8 september 2023 door admin

Als $n^2+n+1=0$ , bereken dan
$A= n^{2023}+n^{2024}+2024$

Antwoord

Omdat $n^2+n+1=0$ , zal ook $n^3-1=(n-1)(n^2+n+1)=0$ . Bijgevolg is $n^3=1$ en $n\neq 1$ .
Nu is $n^{2023}=(n^3)^{674}*n=1^{674}*n=n$ .
Evenzo is $n^{2024}=n^{2023}*n=n^2$ .
Tenslotte is $A=(n+n^2)+2024=-1+2024=2023$ .

Geplaatst in Kleine nootjes | Getagged derde macht wortel, problem solving, rekenen met machten

Nootje 38

Geplaatst op 13 juni 2023 door admin

Antwoord

Onderverdelen in driehoeken lijkt een goed idee:
De gelijkheid van oppervlaktes is evident: zelfde hoogte en even grote basis.
De vierhoek linksboven heeft oppervlakte 20 en is dus gelijk aan $16-x+32-y$ .
Hieruit volgt $x+y=28$ .
De oppervlakte van de vierhoek rechts onder, die gevraagd wordt, is gelijk aan $x+y$ , dus de gevraagde oppervlakte is gelijk aan 28 vierkante centimeter.

Geplaatst in Kleine nootjes | Getagged kleine nootjes, oppervlakte driehoeken, problem solving

Bericht navigatie

← Oudere berichten

Nieuwere berichten →

Wiskunde is leuk

Tag archieven: problem solving

Opgave 39

Bewijs dat geen enkel getal van de vorm
$3^m+3^n+1$
met m en n strikt positieve gehele getallen, een volkomen kwadraat is.

Nootje 43

Nootje 41

Nootje 40

Als $n^2+n+1=0$ , bereken dan
$A= n^{2023}+n^{2024}+2024$

Nootje 38

Bewijs dat geen enkel getal van de vorm met m en n strikt positieve gehele getallen, een volkomen kwadraat is.

Als , bereken dan

Bewijs dat geen enkel getal van de vorm
$3^m+3^n+1$
met m en n strikt positieve gehele getallen, een volkomen kwadraat is.

Als $n^2+n+1=0$ , bereken dan
$A= n^{2023}+n^{2024}+2024$