Wiskunde is leuk

Nootje 40

Geplaatst op 8 september 2023 door admin

Als $n^2+n+1=0$ , bereken dan
$A= n^{2023}+n^{2024}+2024$

Antwoord

Omdat $n^2+n+1=0$ , zal ook $n^3-1=(n-1)(n^2+n+1)=0$ . Bijgevolg is $n^3=1$ en $n\neq 1$ .
Nu is $n^{2023}=(n^3)^{674}*n=1^{674}*n=n$ .
Evenzo is $n^{2024}=n^{2023}*n=n^2$ .
Tenslotte is $A=(n+n^2)+2024=-1+2024=2023$ .

Nootje 38

Geplaatst op 13 juni 2023 door admin

Antwoord

Onderverdelen in driehoeken lijkt een goed idee:
De gelijkheid van oppervlaktes is evident: zelfde hoogte en even grote basis.
De vierhoek linksboven heeft oppervlakte 20 en is dus gelijk aan $16-x+32-y$ .
Hieruit volgt $x+y=28$ .
De oppervlakte van de vierhoek rechts onder, die gevraagd wordt, is gelijk aan $x+y$ , dus de gevraagde oppervlakte is gelijk aan 28 vierkante centimeter.

Nootje 37

Geplaatst op 11 juni 2023 door admin

Antwoord

Vermoedelijk een toepassing op de stelling van Pythagoras….
Men kan gemakkelijk bewijzen dat
$|PD|^2+|PB|^2=|PA|^2+|PC|^2$
Dit resultaat wordt weleens de stelling van de Britse vlag genoemd, naar de vergelijking met de Union Jack
Voor ons probleem is dus $x^2+4=36+49$ , dus is $x=9$ .

Nootje 35

Geplaatst op 19 mei 2023 door admin

Zoek een getal van 6 cijfers dat begint en eindigt met een 2 en het product is van 3 opeenvolgende even getallen.

Antwoord

Even getallen eindigen steeds op 0,2,4,6 of 8.
Het product van drie opeenvolgende even getallen eindigt dan op $0*2*4$ , $2*4*6$ , $4*6*8$ of $6*8*0$ .
Enkel de combinatie $4*6*8$ eindigt dus op een 2.
Nu is $50^3=125000$ en $60^3=216000$ .
Bijgevolg zijn de getallen: 64,66 en 68 en hun product is 287232.

Nootje 33

Geplaatst op 13 mei 2023 door admin

Vind $x-y$ als gegeven is dat $x^4=y^4+24$ , $x^2+y^2=6$ en $x+y=3$ .

Antwoord

Om de 2 onbekenden x en y uit te rekenen heb je eigenlijk maar 2 vergelijkingen nodig. Dan kan je ook $x-y$ uitrekenen. Maar waarschijnlijk is dat wel niet de bedoeling.
Omdat $x^4-y^4=(x-y)(x+y)(x^2+y^2)$ , vinden we uit de eerste betrekking dat $24=(x-y)*3*6$ ;
Hieruit volgt dan dat $x-y=\frac{4}{3}$ .