E,F en G zijn de raakpunten van de ingeschreven cirkel aan de zijden van driehoek ABC. Bewijs dat AF,BG en CE door één punt gaan.

Antwoord

$x=10^{2n+1}+\cdots +10^{n+2}+2.10^{n+1}+\cdots+2.10+5$ .

De termen met een factor 2 splitsen we op en we schrijven 5 als 1+1+3.

We vinden dan
$x=(10^{2n+1}+\cdots +10^{n+2}+10^{n+1}+\cdots+10+1)+(10^{n+1}+\cdots+10+1)+3$ .

Gebruiken we nu de partiële som formule voor de termen van een meetkundige rij: $x=\dfrac{10^{2n+2}-1}{9}+\dfrac{10^{n+2}-1}{9}+3$

We brengen op gelijke noemer: $x=\dfrac{10^{2n+2}+10.10^{n+1}+25}{9}=\Big(\dfrac{10^{n+1}+5}{3}\Big)^2$ .

Dan is $\sqrt{x}=\dfrac{10^{n+1}+5}{3}$ .

Hieruit volgt dat $\sqrt{x} =\dfrac{1 \overbrace{0\cdots0}^{n+1}+5}{3}=\dfrac{ \overbrace{9\cdots9}^{n}0+15}{3}$ .

Uiteindelijk vinden we dat de vierkantswortel van x gelijk is aan

$\overbrace{3\cdots3}^n5$

Antwoord

We kunnen voor $k=1,2,...,10$ de laatste twee cijfers berekenen van $9^k$ . We vinden $9^{10}=3486784401$ en eindigt dus op $01$ .

Als $(9^{10})^n$ eindigt op 01, dan zal ook $(9^{10})^{n+1}$ eindigen op 01, want $(9^{10})^{n+1}=(9^{10})^n.9^{10}=(\cdots 01).(\cdots 01)=(\cdots 01)$ .

Door inductie hebben we dus bewezen dat elke macht van $9^ {10}$ eindigt op 01.

Dan is $a_2=9^{2018}=(9^{10})^{201}.9^8=(\cdots01).43046721$ en dus eindigt $a_2$ op 21.

Verder is $a_3=9^{\cdots 21}=(9^{10})^{\cdots 2}.9^1=(\cdots 01).9=\cdots 09$ . Bijgevolg eindigt $a_3$ op 09.

Nu is $a_4=9^{\cdots 09}=(9^{10})^{\cdots 0}.9^9=(\cdots 01).387420489=\cdots 89$ .

Het is duidelijk dat alle verdere termen van de rij op 89 zullen eindigen.

Dus $a_{2018}$ eindigt op 89.

Je kan een aantal mogelijke oplossingen uitproberen. Misschien kan je zelfs het aantal mogelijke oplossingen beperken. Dan kan je best een gokje wagen en daarna proberen te bewijzen dat jouw voorstel tot oplossing de goede is.

Bepaal de volgende term in de rij:

$-1,-1,1,5,11,19,29,\cdots$

Het is zeker geen rekenkundige rij. Een eerste graadsveelterm zal dus niet kunnen om de algemene term van de rij te bepalen. Het is ook geen meetkundige rij , dus ook een exponentiële functie zal niet volstaan.
Proberen we even met een tweedegraadsfunctie. Dus een uitdrukking van de vorm $P(x)=ax^2+bx+c$ . Proberen we nu de waarden van de onbekenden $a,b$ en $c$ te vinden.
Uit $P(1)=P(2)=-1$ en $P(3)=1$ vinden we een stelsel:
$\left\{ \begin{array}{l}a+b+c=-1 \\ 4a+2b+c=-1\\9a+3b+c=1 \end{array} \right$

.
De oplossing van het stelsel is $a=1$ , $b=-3$ e, $c=1$ .
De vraag is natuurlijk of onze gok goed was! Voldoen de andere termen van de rij ook aan het voorschrift?
Nu is: $P(4)=5$ , $P(5)=11$ , $P(6)=19$ , $P(7)=29$ .
De volgende term in de rij is $P(8)=41$ .

Wat is het grootst:

$\sqrt[3]{60} \text{ of } 2+\sqrt[3]{7}$

De derde macht nemen van beide getallen lijkt erg ingewikkeld te worden.

Probeer het meer algemeen probleem op te lossen: Wat is het grootst: $A=\sqrt[3]{4(x+y)}$ of $B=\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}$ ? Hierbij zijn $x$ en $y$ positief. De opgave is dan het speciaal geval met $x=8$ en $y=7$ .

Stel $x=a^3$ en $y=b^3$ . Dan is $B^3=(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ . Verder is $A^3=4(a^3+b^3)$ .

Nu is $A^3-B^3=3(a^3+b^3-a^2b-ab^2)=(a-b)(a^2-b^2)=(a-b)^2(a+b)$ . Omdat $x$ en $y$ positief zijn, zijn ook $a$ en $b$ positief en is $A^3-B^3 >0$ . Hieruit volgt dat $A^3 > B^3$ en dus ook dat $A>B$ .

We besluiten dat $\sqrt[3]{60}$ groter is dan $2+\sqrt[3]{7}$ .

Wiskunde is leuk

Tag archieven: problem solving

Opgave 11

E,F en G zijn de raakpunten van de ingeschreven cirkel aan de zijden van driehoek ABC. Bewijs dat AF,BG en CE door één punt gaan.

Opgave 10

Bereken de vierkantswortel van x met

$x=\underbrace{1\cdots 1}_n\underbrace{2\cdots 2}_{n+1} 5$

Antwoord

Opgave 9

Definieer $a_1=2018$ en $a_{n+1}=9^{a_n}$ voor n=1,2,…
Bepaal de laatste twee cijfers van $a_{2018}$ .

Antwoord

Waag eens een gokje

Bepaal de volgende term in de rij:

$-1,-1,1,5,11,19,29,\cdots$

Veralgemeen

Wat is het grootst:

$\sqrt[3]{60} \text{ of } 2+\sqrt[3]{7}$

E,F en G zijn de raakpunten van de ingeschreven cirkel aan de zijden van driehoek ABC. Bewijs dat AF,BG en CE door één punt gaan.

Bereken de vierkantswortel van x met

Antwoord

Definieer en voor n=1,2,… Bepaal de laatste twee cijfers van .

Antwoord

Bepaal de volgende term in de rij:

Wat is het grootst:

Bereken de vierkantswortel van x met

$x=\underbrace{1\cdots 1}_n\underbrace{2\cdots 2}_{n+1} 5$

Definieer $a_1=2018$ en $a_{n+1}=9^{a_n}$ voor n=1,2,…
Bepaal de laatste twee cijfers van $a_{2018}$ .

Bepaal de volgende term in de rij:

$-1,-1,1,5,11,19,29,\cdots$

Wat is het grootst:

$\sqrt[3]{60} \text{ of } 2+\sqrt[3]{7}$