Wiskunde is leuk

Opgave 13

Geplaatst op 6 maart 2018 door admin

Wat is groter $2017^{2018}$ of $2018^{2017}$ ?

Antwoord

Noteer 2017 = x en 2018 = y, dan moeten we zoeken welke van de twee, $x^y$ of $y^x$ , het grootst is. Hierbij is $0<x<y$ .
Als we zouden veronderstellen dat $x^y > y^x$ , dan is komt dit neer op $y \ln x > x \ln y$ , want de natuurlijke logaritmische functie is stijgend.
Dit is te herschrijven als : $\dfrac{\ln x}{x}> \dfrac{\ln y}{y}$ .
Daaro onderzoeken we de functie $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ .
$f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$ . Bijgevolg is $f'(x)<0$ als $x>e$ , en is f daar dalend.
Klaar! : Omdat $e<x<y$ en omdat f dalend is rechts van e, zal de volgorde van de beelden worden omgedraaid , dus $f(x)>f(y)$ en bijgevolg is
$2017^{2018}>2018^{2017}$

Opgave 12

Geplaatst op 2 maart 2018 door admin

Construeer de ingeschreven cirkel van een driehoek waarbij twee hoekpunten ontoegankelijk zijn.

Antwoord

We kiezen een rechte ( rood) die twee zijden snijdt en bepaal de spiegelbeelden van die zijden ( blauwe stippellijn).
Bepaal het snijpunt van die stippellijnen: T en bepaal de deellijn
( blauw )van de hoek in T.
Spiegel die lijn terug rond de rode rechte ( groene lijn) en bepaal het snijpunt U met de deellijn (paarse lijn )van de driehoek die je wel kon tekenen (vanuit K).
U is het middelpunt van de ingeschreven cirkel.

Opgave 11

Geplaatst op 9 februari 2018 door admin

E,F en G zijn de raakpunten van de ingeschreven cirkel aan de zijden van driehoek ABC. Bewijs dat AF,BG en CE door één punt gaan.

Antwoord

F verdeelt de zijde a in $|CF| =r\cot \frac{C}{2}$ en $|FB|=r\cot \frac{B}{2}$ . Hierbij is $r$ de straal van de ingeschreven cirkel en zijn CD en BD de bissectrices van de hoeken C en B.
Analoog geldt: G verdeelt de zijde b in $|CG| =r\cot \frac{C}{2}$ en $|AG|=r\cot \frac{A}{2}$ en E verdeelt de zijde c in $|AE| =r\cot \frac{A}{2}$ en $|EB|=r\cot \frac{B}{2}$ .
Dan is $\dfrac{|AE|}{|EB|}.\dfrac{|BF|}{|FC|}.\dfrac{|CG|}{|GA|}=1$ .
Volgens de stelling van Ceva zijn de hoektransversalen AF,BG en CE dan concurrent.

Opgave 10

Geplaatst op 20 januari 2018 door admin

Bereken de vierkantswortel van x met

$x=\underbrace{1\cdots 1}_n\underbrace{2\cdots 2}_{n+1} 5$

Antwoord

$x=10^{2n+1}+\cdots +10^{n+2}+2.10^{n+1}+\cdots+2.10+5$ .
De termen met een factor 2 splitsen we op en we schrijven 5 als 1+1+3.
We vinden dan
$x=(10^{2n+1}+\cdots +10^{n+2}+10^{n+1}+\cdots+10+1)+(10^{n+1}+\cdots+10+1)+3$ .
Gebruiken we nu de partiële som formule voor de termen van een meetkundige rij: $x=\dfrac{10^{2n+2}-1}{9}+\dfrac{10^{n+2}-1}{9}+3$
We brengen op gelijke noemer: $x=\dfrac{10^{2n+2}+10.10^{n+1}+25}{9}=\Big(\dfrac{10^{n+1}+5}{3}\Big)^2$ .
Dan is $\sqrt{x}=\dfrac{10^{n+1}+5}{3}$ .
Hieruit volgt dat $\sqrt{x} =\dfrac{1 \overbrace{0\cdots0}^{n+1}+5}{3}=\dfrac{ \overbrace{9\cdots9}^{n}0+15}{3}$ .
Uiteindelijk vinden we dat de vierkantswortel van x gelijk is aan
$\overbrace{3\cdots3}^n5$

Opgave 9

Geplaatst op 6 januari 2018 door admin

Definieer $a_1=2018$ en $a_{n+1}=9^{a_n}$ voor n=1,2,…
Bepaal de laatste twee cijfers van $a_{2018}$ .

Antwoord

We kunnen voor $k=1,2,...,10$ de laatste twee cijfers berekenen van $9^k$ . We vinden $9^{10}=3486784401$ en eindigt dus op $01$ .
Als $(9^{10})^n$ eindigt op 01, dan zal ook $(9^{10})^{n+1}$ eindigen op 01, want $(9^{10})^{n+1}=(9^{10})^n.9^{10}=(\cdots 01).(\cdots 01)=(\cdots 01)$ .
Door inductie hebben we dus bewezen dat elke macht van $9^ {10}$ eindigt op 01.
Dan is $a_2=9^{2018}=(9^{10})^{201}.9^8=(\cdots01).43046721$ en dus eindigt $a_2$ op 21.
Verder is $a_3=9^{\cdots 21}=(9^{10})^{\cdots 2}.9^1=(\cdots 01).9=\cdots 09$ . Bijgevolg eindigt $a_3$ op 09.
Nu is $a_4=9^{\cdots 09}=(9^{10})^{\cdots 0}.9^9=(\cdots 01).387420489=\cdots 89$ .
Het is duidelijk dat alle verdere termen van de rij op 89 zullen eindigen.
Dus $a_{2018}$ eindigt op 89.