Tag archieven: problem solving

Bericht navigatie

Geplaatst op 5 juni 2018 door admin

Er bestaat een punt P binnen een gelijkzijdige driehoek ABC zodat |PA|= 3, |PB|=4 en |PC|=5. Bereken de lengte van de zijde van die gelijkzijdige driehoek.

Antwoord

We roteren driehoek ABC rond A over 60°.
BP’ is het beeld van CP en heeft dus lengte 5. Bovendien is driehoek APP’ gelijkzijdig en dus heeft PP’ lengte 3. Bijgevolg is driehoek BPP’ een 3-4-5 driehoek en dus rechthoekig.
Driehoek APP’ is gelijkzijdig en dus zijn alle hoeken 60°. Daarom meet de hoek BPA juist 90°+60°=150°.
We kunnen in driehoek BPA, met behulp van de cosinusregel de lengte van AB berekenen: $|AB|^2=3^2+4^2-2.3.4.\cos 150°=25+12\sqrt{3}$ .
De zijde van de gelijkzijdige driehoek ABC heeft als lengte $\sqrt{25+12\sqrt{3}}$ .

Geplaatst in Opgaven | Getagged oefeningen, opgave, probleemoplossend denken, problem solving, wiskunde

Opgave 16

Geplaatst op 3 april 2018 door admin

Voor 3 positieve getallen a,b en c geldt:

$\frac{9}{2(a+b+c)}\leq \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\leq \frac{1}{2}\Big(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Big)$

Antwoord

In de eerste ongelijkheid stellen we $a+b=x$ , $b+c=y$ en $a+c=z$ , dan wordt de opgave herschreven als $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$ of $(x+y+z)\Big( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\Big )\geq 9$ .
We werken de haakjes uit en vinden: $3+\Big( \frac{x}{y}+\frac{y}{x}\Big)+\Big( \frac{x}{z}+\frac{z}{x}\Big)+\Big( \frac{y}{z}+\frac{z}{y}\Big) \geq 9$ .
Uit de ongelijkheid over het rekenkundig en meetkundig gemiddelde vinden we dat $\frac{1}{2}\Big( \frac{x}{y}+\frac{y}{x}\Big) \geq \sqrtç \frac{x}{y}\frac{y}{x}=1$ , dus het linkerlid uit vorig punt is groter of gelijk aan $3+2+2+2=9$ wat moest bewezen worden.
Voor het tweede deel van de ongelijkheid gebruiken we de ongelijkheid over het harmonisch en meetkundig gemiddelde: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \geq \frac{2}{\sqrt{ab}}$ . Volgens de ongelijkheid over het rekenkundig en meetkundig gemiddelde is bovendien $\frac{2}{\sqrt{ab}} \geq \frac{4}{a+b}$ .
Pas dit nu toe op de drie termen van het linkerlid van de gevraagde ongelijkheid en het bewijs is klaar.

Geplaatst in Opgaven | Getagged harmonisch gemiddelde, meetkundig gemiddelde, ongelijkheden, ongelijkheden met gemiddelden, opgaven, problem solving, rekenkundig gemiddelde

Opgave 14

Geplaatst op 13 maart 2018 door admin

Op de zijden van een rechthoekige driehoek ABC tekent men twee vierkanten: BGFC en AEDC. De rechten AG en BE snijden elkaar in I. Verder is H het snijpunt van AG met BC en J het snijpunt van BE met AC. Bewijs dat de oppervlakte van ABI gelijk is aan de oppervlakte van IHJC.

Antwoord

We maken eerst een tekening
We kunnen beter bewijzen dat de oppervlakte van de driehoeken ABH en BJC dezelfde zijn door bij de opgave de oppervlakte van BIH toe te voegen aan beide delen.
Dus moet $|BH|.|AC|=|JC|.|BC|$ of $\dfrac{|AC|}{|BC|}=\dfrac{|JC|}{|BH|}$ .
Nu zijn de driehoeken ACH en BGH gelijkvormig (HH= rechte hoek en overstaande hoeken), dus geldt $\dfrac{|AC|}{|BC|}=\dfrac{|HC|}{|BH|}$ . Bijgevolg rest ons te bewijzen dat $|JC|=|HC|$ .
Ook driehoeken BJC en BED zijn gelijkvormig ( HH= gemeenschappelijke hoek en rechte hoek), dus is $\dfrac{|JC|}{|ED|}=\dfrac{|BC|}{|BD|}$ of $|JC|.|BD|=|BC|.|ED|$ . Bijgevolg is $|JC|.(|BC|+|AC|)=|BC|.|AC|$ .
Uit de gelijkvormigheid van de driehoeken AHC en AGF volgt op een analoge wijze dat $|HC|.(|BC|+|AC|)=|BC|.|AC|$ .
Uit de twee laatste formules volgt dan inderdaad dat $|JC|=|HC|$ , net wat we wilden bewijzen.

Geplaatst in Opgaven | Getagged oefeningen, opgaven, probleem oplossend denken, problem solving

Opgave 13

Geplaatst op 6 maart 2018 door admin

Wat is groter $2017^{2018}$ of $2018^{2017}$ ?

Antwoord

Noteer 2017 = x en 2018 = y, dan moeten we zoeken welke van de twee, $x^y$ of $y^x$ , het grootst is. Hierbij is $0<x<y$ .
Als we zouden veronderstellen dat $x^y > y^x$ , dan is komt dit neer op $y \ln x > x \ln y$ , want de natuurlijke logaritmische functie is stijgend.
Dit is te herschrijven als : $\dfrac{\ln x}{x}> \dfrac{\ln y}{y}$ .
Daaro onderzoeken we de functie $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ .
$f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$ . Bijgevolg is $f'(x)<0$ als $x>e$ , en is f daar dalend.
Klaar! : Omdat $e<x<y$ en omdat f dalend is rechts van e, zal de volgorde van de beelden worden omgedraaid , dus $f(x)>f(y)$ en bijgevolg is
$2017^{2018}>2018^{2017}$

Geplaatst in Opgaven | Getagged dalend, logaritmische functies, opgave, problem solving

Opgave 12

Geplaatst op 2 maart 2018 door admin

Construeer de ingeschreven cirkel van een driehoek waarbij twee hoekpunten ontoegankelijk zijn.

Antwoord

We kiezen een rechte ( rood) die twee zijden snijdt en bepaal de spiegelbeelden van die zijden ( blauwe stippellijn).
Bepaal het snijpunt van die stippellijnen: T en bepaal de deellijn
( blauw )van de hoek in T.
Spiegel die lijn terug rond de rode rechte ( groene lijn) en bepaal het snijpunt U met de deellijn (paarse lijn )van de driehoek die je wel kon tekenen (vanuit K).
U is het middelpunt van de ingeschreven cirkel.

Geplaatst in Opgaven | Getagged constucties, ingeschreven cirkel, ontoegankelijk, problem solving

Bericht navigatie

← Oudere berichten

Nieuwere berichten →

Wiskunde is leuk

Tag archieven: problem solving

Opgave 17

Er bestaat een punt P binnen een gelijkzijdige driehoek ABC zodat |PA|= 3, |PB|=4 en |PC|=5. Bereken de lengte van de zijde van die gelijkzijdige driehoek.

Opgave 16

Voor 3 positieve getallen a,b en c geldt:

$\frac{9}{2(a+b+c)}\leq \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\leq \frac{1}{2}\Big(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Big)$

Opgave 14

Op de zijden van een rechthoekige driehoek ABC tekent men twee vierkanten: BGFC en AEDC. De rechten AG en BE snijden elkaar in I. Verder is H het snijpunt van AG met BC en J het snijpunt van BE met AC. Bewijs dat de oppervlakte van ABI gelijk is aan de oppervlakte van IHJC.

Opgave 13

Wat is groter $2017^{2018}$ of $2018^{2017}$ ?

Opgave 12

Construeer de ingeschreven cirkel van een driehoek waarbij twee hoekpunten ontoegankelijk zijn.

Er bestaat een punt P binnen een gelijkzijdige driehoek ABC zodat |PA|= 3, |PB|=4 en |PC|=5. Bereken de lengte van de zijde van die gelijkzijdige driehoek.

Voor 3 positieve getallen a,b en c geldt:

Op de zijden van een rechthoekige driehoek ABC tekent men twee vierkanten: BGFC en AEDC. De rechten AG en BE snijden elkaar in I. Verder is H het snijpunt van AG met BC en J het snijpunt van BE met AC. Bewijs dat de oppervlakte van ABI gelijk is aan de oppervlakte van IHJC.

Wat is groter of ?

Construeer de ingeschreven cirkel van een driehoek waarbij twee hoekpunten ontoegankelijk zijn.

Voor 3 positieve getallen a,b en c geldt:

$\frac{9}{2(a+b+c)}\leq \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\leq \frac{1}{2}\Big(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Big)$

Wat is groter $2017^{2018}$ of $2018^{2017}$ ?