Tag archieven: problem solving

Bericht navigatie

Geplaatst op 2 augustus 2018 door admin

Gegeven: $A(x)=x^4+4x^3+8x^2+4x+16$ . Zoek alle getallen x waarvoor $A(x)$ een volkomen kwadraat is.

Antwoord

Het is duidelijk dat $A(0)=16$ een volkomen kwadraat is. Zijn er nog andere mogelijkheden?
$A(x)$ lijkt op $B(x)=(x+1)^4=(x^2+2x+1)^2$ : namelijk $A(x)=B(x)+(2x^2+15)$ . Met andere woorden $A(x)$ is zeker groter dan $(x^2+2x+1)^2$ .
Neem $C(x)=(x^2+2x+2)^2$ . Wil $A(x)=C(x)$ dan moet $4x-12=0$ of $x=3$ .
Neem $C(x)=(x^2+2x+3)^2$ . Wil $A(x)=C(x)$ dan moet $2x^2+8x-7=0$ . Dit heeft geen gehele oplossingen.
Neem $C(x)=(x^2+2x+4)^2$ . Wil $A(x)=C(x)$ dan moet $4x^2+12x=0$ . Bijgevolg is $x=0$ of $x=-3$ .
Neem $C(x)=(x^2+2x+5)^2$ . Wil $A(x)=C(x)$ dan moet $6x^2+16x+9=0$ en hier zijn geen gehele oplossingen mogelijk.
Neem $C(x)=(x^2+2x+6)^2$ . Dan is $A(x)=C(x)-(8x^2+20x+20)$ . Hieruit volgt dat $A(x)< C(x)$ en dus stopt ons onderzoek hier.
De enige oplossingen zijn 0,3,-3. Hierbij is $A(0)=16=4^2$ , $A(3)=289=17^2$ en $A(-3)=49=7^2$ .
Gelukkig kunnen we $A(x)$ naar boven begrenzen, anders zou het proces oneindig lang verdergaan.

Geplaatst in Opgaven | Getagged opgaves, probleemoplossende vaardigheden, problem solving

Opgave 21

Geplaatst op 27 juli 2018 door admin

Maak met de cijfers 3,4,5,6,7,8 en 9 een getal X van 4 cijfers en een getal Y van 3 cijfers zodat het product X.Y zo groot mogelijk is.

Antwoord

We schrijven X en Y in hun tientallige notatie: $X=a.10^3+b.10^2+c.10+d$ en $Y=e.10^2+f.10+g$ .
Dan is
$X.Y= ae 10^5+(af+be).10^4+(ce+bf+ag).10^3+(bg+cf+de).10^2+(cg+df).10+dg$ .
Om X.Y maximaal te maken kiezen we $ae$ zo groot mogelijk. Dit kan op 2 manieren.
Neem $a=9$ en $e=8$ . Dan is de coëfficiënt van $10^4$ gelijk aan $9f+8b$ en die wordt maximaal voor $f=7$ en $b=6$ . De coëfficiënt van $10^3$ is dan $8c+42+9g$ en die wordt zo groot mogelijk voor $c=4$ en $g=5$ . Blijft over $d=3$ . Dan is $X=9643$ en $Y=875$ en $X.Y=8437625$ .
Als $a=8$ en $e=9$ . Dan is de coëfficiënt van $10^4$ gelijk aan $8f+9b$ en die wordt maximaal voor $f=6$ en $b=7$ . De coëfficiënt van $10^3$ is dan $9c+42+8g$ en die wordt zo groot mogelijk voor $c=5$ en $g=4$ . ook hiet volgt dat $d=3$ . Dan is $X=8753$ en $Y=964$ en $X.Y=8437892$ .
Bijgevolg moet $X=8753$ en $Y=964$ .

Geplaatst in Opgaven | Getagged getallenleer, opgaven, probleem oplossend denken, problem solving

Opgave 20

Geplaatst op 20 juni 2018 door admin

AB is een koorde en P een willekeurig punt van een gegeven cirkel. Q is de loodrechte projectie van P op AB en R en S zijn de loodrechte projecties van P op de raaklijnen aan de cirkel in A en B. Bewijs dat PQ het meetkundig gemiddelde is van PR en PS.

Antwoord

Maken we eerst een tekening:
We proberen aan te tonen dat de driehoeken PRQ en PQS gelijkvormig zijn, want dan is $\dfrac{PR}{PQ}=\dfrac{PQ}{PS}$ en hieruit volgt het gestelde.
De vierhoeken PRAQ en PQSB zijn koordenvierhoeken omdat twee overstaande hoeken recht zijn.
In de eerste koordenvierhoek is $\widehat{PRQ}=\widehat{PAQ}$ omdat in een koordenvierhoek de hoek tussen een zijde en de diagonaal gelijk is aan de hoek gevormd door de overstaande zijde en de andere diagonaal. Daarom is ook $\widehat{PQS}=\widehat{PBS}$ .
Maar de hoeken $\widehat{PAQ}$ en $\widehat{PBS}$ zijn gelijk als hoeken op eenzelfde boog in de gegeven cirkel. Bijgevolg is $\widehat{PRQ}=\widehat{PQS}$ .
Via een analoge redenering is ook $\widehat{PQR}=\widehat{PSQ}$ en dus zijn de driehoeken PRQ en PQS gelijkvormig, zoals gevraagd.

Geplaatst in Opgaven | Getagged koordenvierhoeken, meetkunde, oefeningen, opgaven, problem solving, wiskunde

Opgave 19

Geplaatst op 14 juni 2018 door admin

Controleer voor elk natuurlijk getal vanaf 7 of ${n} \choose {7}$ deelbaar is door 12 en bereken de fractie van dergelijke getallen. Zoek de limiet van die fractie als je steeds meer getallen controleert.

Antwoord

We weten dat ${n} \choose {7}$ = $\dfrac{n!}{7!(n-7)!}=\dfrac{n(n-1)\cdots(n-6)}{2^4.3^2.5.7}$
Om deelbaar te zijn door 12 moet de teller deelbaar zijn door ${2^6.3^3.5.7}$ . Omdat de teller betsaat uit zeven opeenvolgende getallen is die zeker al deelbaar door 7 en 5.
Bekijken we nu de factoren 3. De teller is zeker deelbaar door 9, want zeven opeenvolgende getallen bevatten zeker twee veelvouden van 3.
Als $n \equiv 0,1,2,3,4,5 \text{ of } 6 \text{ mod } 9$ , dan is zeker één van de zeven getallen uit de teller deelbaar door 9 en een ander door 3, zodat de teller deelbaar is door $3^3$ .
Nu de factoren 2: Als n even is dan zijn $n,n-2,n-4$ en $n-6$ allemaal deelbaar door 2 en juist twee getallen zijn een viervoud, zodat de teller dan deelbaar is door $2^6$ .
Als n oneven is dan zijn $n-1,n-3$ en $n-5$ deelbaar door 2. Als $n-3$ het enige getal is dat deelbaar is door 4, dan moet het zelfs deelbaar zijn door 16 anders kan de teller niet deelbaar zijn door $2^6$ . Dus moet $n \equiv 3 \text{ mod } 16$ . Als $n-1$ en $n-5$ beiden deelbaar zijn door 4, dan moet opdat de teller deelbaar zou zijn door $2^6$ , een van die getallen deelbaar zijn door 8. Dus moet $n \equiv 1,5 \text{ mod } 8$ of $n \equiv 1,5,9,13 \text{ mod } 16$ .
Brengen we nu alle informatie samen: ${n} \choose {7}$ is deelbaar door 12 als en slechts als
$\begin{cases} n \equiv 0,1,2,3,4,5,6 \text{ mod } 9 \\ n \equiv 0,1,2,3,4,5,6 ,8,9,10,12,13,14 \text{ mod } 16$
Er zijn 7 mogelijkheden modulo 9 en 13 mogelijkheden modulo 16, dus zijn er volgens de Chinese reststelling $9.13=91$ oplossingen modulo $9.16=144$ .
De waarschijnlijkheid dat ${n} \choose {7}$ deelbaar is door 12 nadert dus de waarde $\frac{91}{144}$ .

Geplaatst in Opgaven | Getagged chinese reststelling, opgave, probleem oplossend denken, problem solving, wiskunde

Opgave 18

Geplaatst op 9 juni 2018 door admin

$n \in \mathbb{N}_0$ is p-veilig ( met p een natuurlijk getal verschillend van 0), als het in absolute waarde meer dan 2 verschilt van alle p-vouden. Hoeveel natuurlijke getallen bestaan er die kleiner zijn dan 10000 en tegelijkertijd 7- veilig, 11-veilig en 13-veilig zijn?

Antwoord

Even op onderzoek: welke zijn de 10-veilige getallen? Het zijn: 3,4,5,6,7,13,14,15,16,17,23,…
als x zowel 7-veilig, 11-veilig en 13-veilig moet zijn dan geldt
$\begin{cases} x\equiv 3,4 \text{ mod } 7 \\ x\equiv 3,4,5,6,7,8 \text{ mod } 11 \\ x\equiv 3,4,5,6,7,8,9,10 \text{ mod } 13 \end{cases}$
Eigenlijk staan hier 2.6.8=96 stelsels die , volgens de chinese reststelling, allemaal een unieke oplossing hebben modulo 7.11.13=1001
Tussen 1 en 1001 hebben we dus 96 oplossingen, idem tussen 1002 en 2002, tussen 2003 en 3003, …, tussen 9009 en 10010. Bijgevolg hebben we 10.96 = 960 oplossingen.
Maar misschien zijn er wel oplossingen bij die groter zijn dan 10000, vermits we tot 10010 gerekend hebben. We controleren en vinden dat $10006 \equiv -4 \text{ mod } 1001$ en dus bij deling door 7,11 en 13 respectievelijk 3,7,en 9 als rest laat. Zodoende is 10006 zowel 7-veilig als 11-veilig en 13-veilig. Het zelfde geldt voor $10007 \equiv -3 \text{ mod } 1001$ .
Bijgevolg zijn er 960 – 2= 958 getallen die zowel 7-veilig, 11-veilig als 13-veilig zijn.

Geplaatst in Opgaven | Getagged chinese reststelling, oefeningen, opgave, probleem oplossend denken in wiskunde, problem solving, wiskunde

Bericht navigatie

← Oudere berichten

Nieuwere berichten →

Wiskunde is leuk

Tag archieven: problem solving

Opgave 22

Gegeven: $A(x)=x^4+4x^3+8x^2+4x+16$ . Zoek alle getallen x waarvoor $A(x)$ een volkomen kwadraat is.

Opgave 21

Maak met de cijfers 3,4,5,6,7,8 en 9 een getal X van 4 cijfers en een getal Y van 3 cijfers zodat het product X.Y zo groot mogelijk is.

Opgave 20

AB is een koorde en P een willekeurig punt van een gegeven cirkel. Q is de loodrechte projectie van P op AB en R en S zijn de loodrechte projecties van P op de raaklijnen aan de cirkel in A en B. Bewijs dat PQ het meetkundig gemiddelde is van PR en PS.

Opgave 19

Controleer voor elk natuurlijk getal vanaf 7 of ${n} \choose {7}$ deelbaar is door 12 en bereken de fractie van dergelijke getallen. Zoek de limiet van die fractie als je steeds meer getallen controleert.

Opgave 18

$n \in \mathbb{N}_0$ is p-veilig ( met p een natuurlijk getal verschillend van 0), als het in absolute waarde meer dan 2 verschilt van alle p-vouden. Hoeveel natuurlijke getallen bestaan er die kleiner zijn dan 10000 en tegelijkertijd 7- veilig, 11-veilig en 13-veilig zijn?

Gegeven: . Zoek alle getallen x waarvoor een volkomen kwadraat is.

Maak met de cijfers 3,4,5,6,7,8 en 9 een getal X van 4 cijfers en een getal Y van 3 cijfers zodat het product X.Y zo groot mogelijk is.

AB is een koorde en P een willekeurig punt van een gegeven cirkel. Q is de loodrechte projectie van P op AB en R en S zijn de loodrechte projecties van P op de raaklijnen aan de cirkel in A en B. Bewijs dat PQ het meetkundig gemiddelde is van PR en PS.

Controleer voor elk natuurlijk getal vanaf 7 of deelbaar is door 12 en bereken de fractie van dergelijke getallen. Zoek de limiet van die fractie als je steeds meer getallen controleert.

is p-veilig ( met p een natuurlijk getal verschillend van 0), als het in absolute waarde meer dan 2 verschilt van alle p-vouden. Hoeveel natuurlijke getallen bestaan er die kleiner zijn dan 10000 en tegelijkertijd 7- veilig, 11-veilig en 13-veilig zijn?

Gegeven: $A(x)=x^4+4x^3+8x^2+4x+16$ . Zoek alle getallen x waarvoor $A(x)$ een volkomen kwadraat is.

Controleer voor elk natuurlijk getal vanaf 7 of ${n} \choose {7}$ deelbaar is door 12 en bereken de fractie van dergelijke getallen. Zoek de limiet van die fractie als je steeds meer getallen controleert.

$n \in \mathbb{N}_0$ is p-veilig ( met p een natuurlijk getal verschillend van 0), als het in absolute waarde meer dan 2 verschilt van alle p-vouden. Hoeveel natuurlijke getallen bestaan er die kleiner zijn dan 10000 en tegelijkertijd 7- veilig, 11-veilig en 13-veilig zijn?