Tag archieven: probleem garderobe juffrouw

Het matching probleem

Geplaatst op door

Neem 4 kaarten met erop het nummer 1,2,3 en 4. Schud ze en leg ze op tafel terwijl je 1,2 3 en 4 zegt. Hoe groot is de kans dat  het nummer op de kaart overeen komt met het getal dat je zegt? 

Er zijn 4!= 24 mogelijke rangschikkingen; Noteer met P(i,4) de kans dat er i matches zijn bij 4 geschudde kaarten. Dan is 

  •  P(0,4)=\frac{9}{24}=0,375
  •  P(1,4)=\frac{8}{24}=0,333...
  •  P(2,4)=\frac{6}{24}=0,25
  •  P(4,4)=\frac{1}{24}=0,041666...

Het is duidelijk dat P(3,4) = 0 want als er 3 juist zijn moetje vierde automatisch ook juist zijn. Er bestaat een algemeen formule om de kans te berekenen op m matches in een rij van n geschudde kaarten:

    \[P(m,n)=\frac{1}{m!}\Big( \frac{1}{0!}-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}...+\frac{(-1)^{n-m}}{(n-m)!}\Big)\]

De kans op 0 matches komt overeen met de formule voor derangements. De kans op minstens 1 overeenkomst is  62,5%

Dit probleem werd voor het eerst bestudeerd door de Franse wiskundige Pierre Rémond de Montfort in zijn ‘Essay d’Analyse sur les Jeux du Hazard’ uit 1708.

Montfort voerde het experiment uit met 13 kaarten en noemde het spel Treize.