priemgetallen van Fermat | Wiskunde is leuk

In 1729 schreef Christian Goldbach aan Euler: Kent u de opmerking in het werk van Fermat dat alle getallen $F_n=2^{2^n}+1$ priemgetallen zijn? Hij schrijft dat hij het niet kan bewijzen, en voor zover ik weet heeft ook niemand anders een bewijs kunnen vinden.

Fermat had al opgemerkt dat de getallen $F_n$ priemgetallen zijn voor $n=0,1,2,3,4$ : $F_0=3,F_1=5, F_2=17, F_3=257, F_4=65537$ , vandaar zijn vermoeden. Maar $F_5=4294967297$ ging zijn krachten te boven. De getallen $F_n=2^{2^n}+1$ noemt men Fermatgetallen. Euler liet zich echter niet afschrikken en hij kwam tot het verrassende resultaat dat $F_5$ geen priemgetal is omdat het deelbaar is door 641. Het vermoeden van Fermat bleek dus niet waar te zijn – een van de zeldzame keren dat Fermat een vermoeden uitsprak dat onjuist is gebleken.

Waar komt trouwens de vreemde vorm $2^{2^n}+1$ vandaan?
Waarom niet gewoon $2^m+1$ ? Wel, het is eenvoudig te bewijzen dat $2^m+1$ alleen maar een priemgetal kan zijn als m van de vorm $m=2^n$ is. Dit komt omdat, als $q$ oneven is en groter dan 1, dan is $a^q+1=(a+1)(a^{q-1}-a^{q-2}+\cdots -a+1)$ . Op die manier kan men bewijzen dat m geen oneven deler kan hebben.

Hoe zit het met $F_6=18446744073709551617$ ? Daar lijkt zonder computer geen beginnen aan. Toch lukte het Landry en Le Lasseur in 1880 een volledige ontbinding te vinden. Ook van $F_7$ , een getal van 39 cijfers, $F_8$ (78 cijfers), $F_9$ (155 cijfers) en $F_{11}$ ( 617 cijfers) zijn inmiddels volledige ontbindingen gevonden. Geen van alle zijn het dus priemgetallen. Ook $F_{10}$ is geen priemgetal, maar daarvan is alleen maar bekend dat het deelbaar is door 455925777 en 6487031809. Van de resterende factor kennen we de ontbinding niet.

Van nog veel meer Fermatgetallen is bewezen dat ze geen priemgetallen zijn. In feite is er nog steeds geen enkele grotere priem dan $F_4$ bekend. Bestaat er dus wel een zesde Fermat priemgetal? Het kleinste Fermat getal waarvan we niet weten of het priem is, is $F_{22}$ , een getal van 1262612 cijfers. Verder onderzoek ligt nog open…