Tag archieven: priemen

Pseudopriemen

Geplaatst op door

De kleine stelling van Fermat leert ons dat voor een priemgetal p geldt dat

    \[a^{p-1} \equiv 1 \mod p\]

of voor getallen a die onderling ondeelbaar zijn met p: a^p \equiv a \mod p.

De stelling van Fermat is niet omkeerbaar. Inderdaad is  2^{340} \equiv 1 \mod 341 en 341 = 11 \times 31. In de vijfde eeuw voor onze jaartelling wisten de Chinezen al dat uit p priem volgt dat 2^{p-1} \equiv 1 \mod p. Zij waren ook overtuigd van het omgekeerde. Ook Leibniz was daarvan overtuigd. Slechts in 1819 vond F. Sarrus bovenvermeld tegenvoorbeeld.

We noemen 341 een pseudopriem t.o.v. de basis 2.

Een Carmichael getal is een getal  p dat niet priem is en waar voor alle a die onderling ondeelbaar zijn met p, toch geldt dat a^{p-1} \equiv 1 \mod p. Zo is bijvoorbeeld 561 het kleinste Carmichael getal. De volgende Carmichael getallen zijn  1105, 1729, 2465, 2821, 6601, 8911, 10585, 15841 en  29341. Pas in 1994 werd bewezen dat er oneindig veel Carmichael getallen zijn.

De naam Carmichael getal komt van de Amerikaanse wiskundige  Richard David  Carmichael ( 1979-1967) die het bestaan ervan introduceerde in 1910. Een andere naam voor deze getallen is absolute pseudopriemen

Superpriemgetallen

Geplaatst op door

priem

 

Neem een priemgetal van 1 cijfer, bijvoorbeeld 2. Voeg er rechts een cijfer bij zodat het nieuwe getal nog steeds priem is . Bijvoorbeeld 23. Ga verder ! Ook 233 is priem. Zo kan je het rijtje  2,23,233,2333,23333 vormen.

Welk is langste priemgetal dat je zo kan vormen?
Via 7,73,739,7393,73939,739391,7393913 kom je uiteindelijk terecht bij een getal van 8 cijfers:

73.939.133

Wat is het langste priemgetal dat je kan vormen als je nu cijfers langs links bijvoegt?
Hier heb je wat meer werk want het getal bevat 24 cijfers:

357.686.312.646.216.567.629.137

Het getal genereert dus 24 priemgetallen , beginnend met 7, 37,137, 9137, …