Tag archieven: priem

Circulair priemgetal

Geplaatst op door

Een  circulair priemgetal is een priemgetal dat een priemgetal blijft bij elke cyclische rotatie van de cijfers . Zo is 13 een circulair priemgetal, want het is priem en ook 31 is een priemgetal. 

Het is duidelijk dat een circulair priemgetal nooit het cijfer 0,2,4,5 of 8 kan bevatten, want door een cyclische permutatie komt dat cijfer ooit achteraan en dan is het getal deelbaar door 2 of 5 en dus niet priem.

De eerste circulaire priemen zijn 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 113, 131, 197,…

Er is een stelling die zegt dat elk priemgetal dat enkel bestaat uit enen, altijd een circulair priemgetal is. Eveneens beweert men dat er oneindig veel priemgetallen bestaan met enkel enen. Dus zijn er ook oneindig veel circulaire priemgetallen. Waarschijnlijk zijn er, vanaf 1000000, geen andere dan die met enkel enen.

Priemgetaltest

Geplaatst op door

We willen twee fundamentele vragen uit de getaltheorie even onder de aandacht brengen:

  1. Hoe kan men snel zien of een getal een priemgetal is?
  2. Als n niet priem is, hoe vindt men gehele getallen a en b , groter dan 1, zodat n = a.b?

Het is verbazingwekkend dat men dikwijls kan weten dat een getal niet priem is, zonder er een factor van te kennen. Dat is te danken aan de stelling van Fermat: als n priem is dan geldt voor elk geheel getal a dat

    \[a^n \equiv a \mod n\]

Dus als je een geheel getal a kan vinden waarvoor a^n niet gelijk is aan a modulo n, dan weet men zeker dat n niet priem is, zonder nochtans een factor van n te kennen.

Willen we bewijzen dat een getal toch priem is, dan hebben we een omkering van de stelling  van Fermat nodig. Hier doen zich twee moeilijkheden voor:

  • De directe omkering is gewoon fout! Het getal n = 1729 = 7.13.19 is niet priem en toch is  a^{1729}\equiv a \mod 1729 voor elk geheel getal a.
  • En zelfs al zou de omkering waar zijn, dan zou ons dat niet echt helpen want het is ondoenlijk alle gehele getallen a te proberen.

Het zoeken naar oplossingen van deze problemen is zeer actueel en de gevonden methoden zijn soms zelfs futuristisch, aangezien ze steunen op het nog onbewezen vermoeden betreffende de veralgemeende Riemannhypothese.  Enkele namen die op dit gebied een belangrijke bijdrage geleverd hebben zijn: R. Solovay, V.Strassen, G.L. Miller, M.O.Rabin en  H.W. Lenstra ( zie foto)

Sierpinski getallen

Geplaatst op door

De Poolse wiskundige Waclaw Sierpinski (1882-1969) is vooral bekend van zijn driehoek. minder gekend zijn de zogenaamde Sierpinski getallen.

Een Sierpinski getal is een oneven getal k zodat k.2^n+1, voor geen enkele waarde van n een priemgetal is. Zo is 3 geen Sierpinski getal want 3.2^1+1=7 is priem. Ook 5 en 7 zijn geen Sierpinski getallen want 5.2^1+1=11 en 7.2^2+1=29 zijn allebei priemgetallen. In 1960 bewees Sierpiński dat er een oneindig aantal oneven gehele getallen k bestaan die geen priemgetallen opleveren.

Het is niet eenvoudig Sierpinski getallen te vinden. Het kleinste getal, waarvan we zeker weten dat het een Sierpinski getal is, is 78557. In 1962 bewees J.Selfridge dat 78557.2^n+1 nooit een priemgetal is. Het is getal 78557.2^n+1 is zelfs, voor elke waarde van n, deelbaar door 3,5,7,13,19,37 en 73.

Eén van de open problemen in de getaltheorie luidt: wat is het kleinste Sierpinski getal?  Men vermoedt dat dit 78557 moet zijn, maar er is daarvan nog steeds geen bewijs voor gegeven.