Tag archieven: pascal

Het verdelen van de inzet

Geplaatst op door

Een populaire visie op de ontwikkeling van de kanstheorie komt uit de hoek van de kansspelen. Klassiek is het verhaal over Chevalier De Mere ( 1607-1684) die
Pascal ( 1623-1662) vroeg de kans te berekenen om in vier worpen met een dobbelsteen tenminste één zes te gooien.

Een ander mooi voorbeeld vinden we in een werk van Franciscus Van Schooten, uitgegeven in 1660. Daarin staat een bijdrage van Christanus Huygens ( 1629-1695) over Van reckeninghe in Speelen van Geluck. Hierin behandelt hij onder andere het volgend vraagstuk:
Veronderstel dat twee spelers A en B na een gelijke inzet te hebben gegeven het tegen elkaar opnemen in een eerlijk spel. Ze komen overeen dat wie het eerst 6 ronden gewonnen heeft de totale inzet krijgt. Het spel wordt echter afgebroken op het ogenblik dat A 5 spelen gewonnen heeft en B 3 spelen. Hoe moet de inzet redelijkerwijs verdeeld worden?

Cardano (1501-1576) besprak het probleem in 1539 en gaf als oplossing dat speler A dan \dfrac{6}{7} van de pot krijgt en B de rest. Tartaglia ( +-1499-1557) gaf ook een oplossing in 1556 : A krijgt \dfrac{2}{3} van de inzet. Een eerste, naar huidig inzicht, juiste oplossing komt er van Fermat (1601-1665) in een brief van 1654 aan Pascal (1623-1662). Fermat redeneert als volgt: de overeenkomst was wel degelijk 6 rondjes te winnen. Dus moet de inzet verdeeld worden a rato van de winstkansen van beide spelers in de veronderstelling dat het spel wordt uitgespeeld. er kunnen nog hoogstens 3 spelen gespeeld worden die de volgende uitslag kunnen geven ( we schrijven a voor winst voor speler A en b voor winst van speler B): aaa,aab,aba,abb, baa,bab,bba,bbb. Dus 8 mogelijkheden;  in 7 ervan wint speler A en in 1 ervan speler B. Bijgevolg krijgt A uiteindelijk \dfrac{7}{8} van de totale inzet en B slechts \dfrac{1}{8}.

Het mag duidelijk zijn dat het vastleggen van een juiste uitkomstenverzameling hét uitgangspunt moet zijn voor een goede opbouw van het kansexperiment. het was uiteindelijk de Rus Kolmogorov die rond 1930 deze gedachtegang via een axiomatisch systeem goed vastlegde.

De limaçon van Pascal

Geplaatst op door

Een andere voorbeeld van een ‘meetkundige’ kromme is de Limaçon van Pascal. Neem een willekeurig punt A op een cirkel met straal r. Teken door A een rechte l die de cirkel een tweede keer snijdt in P. Construeer 2 punten op l die op een afstand a van P liggen: Q_1 en Q_2. Bepaal de meetkundige plaats van deze punten als de rechte l rond A draait.

Neem de oorsprong van het assenstelsel in het middelpunt van de gegeven cirkel en de X-as door A. De rechte l heeft als vergelijking: y=\lambda (x-r). Het andere snijpunt van l met de gegeven cirkel is P(r.\dfrac{\lambda^2-1}{\lambda^2+1},-2r.\dfrac{\lambda}{\lambda^2+1}). Om de meetkundige plaats te kennen van de punten Q_1 en Q_2 moeten we \lambda elimineren uit y=\lambda (x-r) en uit de vergelijking van de cirkel met middelpunt P en straal a. Dit geeft na wat berekeningen:

    \[(x^2+y^2-r^2)^2=a^2[(x-r)^2+y^2]\]

Met Geogebra krijgen we 3 constructies:

  1. Als a<2r: 
  2. Als a=2r, dan krijgen we de cardioïde:
  3. Als a>2r: 

Deze kromme, de Limaçon van Pascal, wordt genoemd naar deFranse jurist en wiskundige Etienne Pascal ( 1588-1651), de vader van, de ons meer bekende, Blaise Pascal. Vroeger onderzoek werd reeds gedaan door Dürer. De naam werd gegeven door Gilles  de Roberval. Limaçon is het Franse woord voor ‘slak’.