Bepaal alle drietallen natuurlijke getallen a,b,c waarvoor a.b.c=1989 en a+b+c=89
Antwoord
De oplossing is symmetrisch in a,b en c.
Redeneren we eventjes op c, dan moet c moet een deler zijn van .
De delers van 1989 zijn: .
Bij een keuze van c moeten we nog het stelsel oplossen:
Noteer en , dan zijn a en b oplossingen van de vergelijking
; Omdat c oneven is , zal S dus even zijn en moet de discriminant een kwadraat zijn van een even getal ( anders zijn a en b geen natuurlijke getallen).
Voor is en . In dat geval is de discriminant gelijk aan 144 en vinden we dat en .
Voor krijgen we dus als oplossingen de drietallen en .
Door de symmetrie zijn de andere oplossingen dan .
.
.![\[\begin{cases}a+b=89-c \\ a.b=\frac{1989}{c}\end{cases}\]](https://usercontent.one/wp/www.wiskundemagie.be/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-73756bac1b1103c38be5ab28edab2ff2_l3.png?media=1678572382 "Rendered by QuickLaTeX.com")
en 
, dan zijn a en b oplossingen van de vergelijking ![\[x^2-Sx+P=0\]](https://usercontent.one/wp/www.wiskundemagie.be/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6be39c7aaa885c002d3d8fbbfe7b2a78_l3.png?media=1678572382 "Rendered by QuickLaTeX.com")
; Omdat c oneven is , zal S dus even zijn en moet de discriminant 
een kwadraat zijn van een even getal ( anders zijn a en b geen natuurlijke getallen).
is 
en 
. In dat geval is de discriminant gelijk aan 144 en vinden we dat 
en 
.
en 
. 
.