Tag archieven: opgave

Bericht navigatie

Opgave 24

Geplaatst op 29 augustus 2018 door admin

Bewijs dat er tussen elke 9 getallen er twee zijn, een a en een b, waarvoor

$0<\frac{a-b}{1+ab}<\sqrt{2}+1$

Antwoord

De middelste uitdrukking doet me onmiddellijk denken aan de formule voor $\tan(a-b)$ .
Bovendien volgt uit $1=\tan(\frac{\pi}{4})=\frac{2\tan(\frac{\pi}{8})}{1-\tan^2(\frac{\pi}{8})}$ dat $\tan(\frac{\pi}{8})=\sqrt{2}+1$ .
Verdeel nu het interval $]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$ in 8 gelijke stukken.
Noteer de 9 gegeven getallen door $a_i$ met $i=1,2,\cdots,9$ . Stel vervolgens $x_i=\text{ bgtan }(a_i)$ .
Er zijn 9 getallen $x_i$ voor 8 intervallen, dus volgt uit het duivenhok principe dat er minstens twee getallen $x_i$ en $x_j$ met $x_j>x_i$ in hetzelfde interval liggen.
Dan geldt $0< x_j-x_i<\frac{\pi}{8}$ .
Omdat de tangensfunctie stijgend is op $]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$ , volgt hieruit dat $0< \tan(x_j-x_i)=\frac{a_j-a_i}{1+a_j.a_i}<\sqrt{2}+1$ .

Geplaatst in Opgaven | Getagged duivenhokprincipe, ladenprincipe, oefening, opgave, probleem oplossend denken, problemsolving

Opgave 19

Geplaatst op 14 juni 2018 door admin

Controleer voor elk natuurlijk getal vanaf 7 of ${n} \choose {7}$ deelbaar is door 12 en bereken de fractie van dergelijke getallen. Zoek de limiet van die fractie als je steeds meer getallen controleert.

Antwoord

We weten dat ${n} \choose {7}$ = $\dfrac{n!}{7!(n-7)!}=\dfrac{n(n-1)\cdots(n-6)}{2^4.3^2.5.7}$
Om deelbaar te zijn door 12 moet de teller deelbaar zijn door ${2^6.3^3.5.7}$ . Omdat de teller betsaat uit zeven opeenvolgende getallen is die zeker al deelbaar door 7 en 5.
Bekijken we nu de factoren 3. De teller is zeker deelbaar door 9, want zeven opeenvolgende getallen bevatten zeker twee veelvouden van 3.
Als $n \equiv 0,1,2,3,4,5 \text{ of } 6 \text{ mod } 9$ , dan is zeker één van de zeven getallen uit de teller deelbaar door 9 en een ander door 3, zodat de teller deelbaar is door $3^3$ .
Nu de factoren 2: Als n even is dan zijn $n,n-2,n-4$ en $n-6$ allemaal deelbaar door 2 en juist twee getallen zijn een viervoud, zodat de teller dan deelbaar is door $2^6$ .
Als n oneven is dan zijn $n-1,n-3$ en $n-5$ deelbaar door 2. Als $n-3$ het enige getal is dat deelbaar is door 4, dan moet het zelfs deelbaar zijn door 16 anders kan de teller niet deelbaar zijn door $2^6$ . Dus moet $n \equiv 3 \text{ mod } 16$ . Als $n-1$ en $n-5$ beiden deelbaar zijn door 4, dan moet opdat de teller deelbaar zou zijn door $2^6$ , een van die getallen deelbaar zijn door 8. Dus moet $n \equiv 1,5 \text{ mod } 8$ of $n \equiv 1,5,9,13 \text{ mod } 16$ .
Brengen we nu alle informatie samen: ${n} \choose {7}$ is deelbaar door 12 als en slechts als
$\begin{cases} n \equiv 0,1,2,3,4,5,6 \text{ mod } 9 \\ n \equiv 0,1,2,3,4,5,6 ,8,9,10,12,13,14 \text{ mod } 16$
Er zijn 7 mogelijkheden modulo 9 en 13 mogelijkheden modulo 16, dus zijn er volgens de Chinese reststelling $9.13=91$ oplossingen modulo $9.16=144$ .
De waarschijnlijkheid dat ${n} \choose {7}$ deelbaar is door 12 nadert dus de waarde $\frac{91}{144}$ .

Geplaatst in Opgaven | Getagged chinese reststelling, opgave, probleem oplossend denken, problem solving, wiskunde

Opgave 18

Geplaatst op 9 juni 2018 door admin

$n \in \mathbb{N}_0$ is p-veilig ( met p een natuurlijk getal verschillend van 0), als het in absolute waarde meer dan 2 verschilt van alle p-vouden. Hoeveel natuurlijke getallen bestaan er die kleiner zijn dan 10000 en tegelijkertijd 7- veilig, 11-veilig en 13-veilig zijn?

Antwoord

Even op onderzoek: welke zijn de 10-veilige getallen? Het zijn: 3,4,5,6,7,13,14,15,16,17,23,…
als x zowel 7-veilig, 11-veilig en 13-veilig moet zijn dan geldt
$\begin{cases} x\equiv 3,4 \text{ mod } 7 \\ x\equiv 3,4,5,6,7,8 \text{ mod } 11 \\ x\equiv 3,4,5,6,7,8,9,10 \text{ mod } 13 \end{cases}$
Eigenlijk staan hier 2.6.8=96 stelsels die , volgens de chinese reststelling, allemaal een unieke oplossing hebben modulo 7.11.13=1001
Tussen 1 en 1001 hebben we dus 96 oplossingen, idem tussen 1002 en 2002, tussen 2003 en 3003, …, tussen 9009 en 10010. Bijgevolg hebben we 10.96 = 960 oplossingen.
Maar misschien zijn er wel oplossingen bij die groter zijn dan 10000, vermits we tot 10010 gerekend hebben. We controleren en vinden dat $10006 \equiv -4 \text{ mod } 1001$ en dus bij deling door 7,11 en 13 respectievelijk 3,7,en 9 als rest laat. Zodoende is 10006 zowel 7-veilig als 11-veilig en 13-veilig. Het zelfde geldt voor $10007 \equiv -3 \text{ mod } 1001$ .
Bijgevolg zijn er 960 – 2= 958 getallen die zowel 7-veilig, 11-veilig als 13-veilig zijn.

Geplaatst in Opgaven | Getagged chinese reststelling, oefeningen, opgave, probleem oplossend denken in wiskunde, problem solving, wiskunde

Opgave 17

Geplaatst op 5 juni 2018 door admin

Er bestaat een punt P binnen een gelijkzijdige driehoek ABC zodat |PA|= 3, |PB|=4 en |PC|=5. Bereken de lengte van de zijde van die gelijkzijdige driehoek.

Antwoord

We roteren driehoek ABC rond A over 60°.
BP’ is het beeld van CP en heeft dus lengte 5. Bovendien is driehoek APP’ gelijkzijdig en dus heeft PP’ lengte 3. Bijgevolg is driehoek BPP’ een 3-4-5 driehoek en dus rechthoekig.
Driehoek APP’ is gelijkzijdig en dus zijn alle hoeken 60°. Daarom meet de hoek BPA juist 90°+60°=150°.
We kunnen in driehoek BPA, met behulp van de cosinusregel de lengte van AB berekenen: $|AB|^2=3^2+4^2-2.3.4.\cos 150°=25+12\sqrt{3}$ .
De zijde van de gelijkzijdige driehoek ABC heeft als lengte $\sqrt{25+12\sqrt{3}}$ .

Geplaatst in Opgaven | Getagged oefeningen, opgave, probleemoplossend denken, problem solving, wiskunde

Opgave 15

Geplaatst op 20 maart 2018 door admin

Zoek het algemeen voorschrift van de rij $a_{n+1}-2a_n=F_n$ met $a_0=0$ , waarbij $F_n$ de rij van Fibonacci is met $F_0=0,F_1=1,F_2=1,...$

Antwoord

Het rechterlid van de formule is niet nul, zodat we geen lineaire recurrente rij krijgen. Maar dat kunnen we verhelpen door ook te schrijven dat $a_{n+2}-2a_{n+1}=F_{n+1}$ en $a_{n+3}-2a_{n+2}=F_{n+2}$ .
De laatste vergelijking verminderd met de vorige en de opgave geeft, gebruikmakend van de eigenschappen van de rij van Fibonacci, dat $a_{n+3}-3a_{n+2}+a_{n+1}+2a_n=0$ .
De karakteristieke vergelijking van deze lineaire recurrentie is $x^3-3x^2+x+2=(x-2)(x^2-x-1)$ . Volgens de theorie van de lineaire recurrente rijen is dan $a_n=A.2^n+B.\alpha^n+C.\beta^n$ . Hierbij is $\alpha=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ en $\beta=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$ . We weten, ook door gebruik te maken van de theorie van de lineaire recurrentie, dat $F_n=\dfrac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}$ .
In $a_n=A.2^n+B.\alpha^n+C.\beta^n$ , bepalen we $A,B$ en $C$ door gebruik te maken van $a_0=0,a_1=0$ en $a_2=1$ . We vinden $A=1$ , $B=-\dfrac{\alpha^2}{\alpha-\beta}$ en $C=\dfrac{\beta^2}{\alpha-\beta}$ .
Bijgevolg is $a_n=2^n-F_{n+2}$ .

Geplaatst in Geen categorie, Opgaven | Getagged opgave, probleem oplossend denken, problemen, problemsolving

Bericht navigatie

← Oudere berichten

Bewijs dat er tussen elke 9 getallen er twee zijn, een a en een b, waarvoor

Controleer voor elk natuurlijk getal vanaf 7 of deelbaar is door 12 en bereken de fractie van dergelijke getallen. Zoek de limiet van die fractie als je steeds meer getallen controleert.

is p-veilig ( met p een natuurlijk getal verschillend van 0), als het in absolute waarde meer dan 2 verschilt van alle p-vouden. Hoeveel natuurlijke getallen bestaan er die kleiner zijn dan 10000 en tegelijkertijd 7- veilig, 11-veilig en 13-veilig zijn?

Er bestaat een punt P binnen een gelijkzijdige driehoek ABC zodat |PA|= 3, |PB|=4 en |PC|=5. Bereken de lengte van de zijde van die gelijkzijdige driehoek.

Zoek het algemeen voorschrift van de rij met , waarbij de rij van Fibonacci is met

Bewijs dat er tussen elke 9 getallen er twee zijn, een a en een b, waarvoor

$0<\frac{a-b}{1+ab}<\sqrt{2}+1$

Controleer voor elk natuurlijk getal vanaf 7 of ${n} \choose {7}$ deelbaar is door 12 en bereken de fractie van dergelijke getallen. Zoek de limiet van die fractie als je steeds meer getallen controleert.

$n \in \mathbb{N}_0$ is p-veilig ( met p een natuurlijk getal verschillend van 0), als het in absolute waarde meer dan 2 verschilt van alle p-vouden. Hoeveel natuurlijke getallen bestaan er die kleiner zijn dan 10000 en tegelijkertijd 7- veilig, 11-veilig en 13-veilig zijn?

Zoek het algemeen voorschrift van de rij $a_{n+1}-2a_n=F_n$ met $a_0=0$ , waarbij $F_n$ de rij van Fibonacci is met $F_0=0,F_1=1,F_2=1,...$