Nootje 9 Geplaatst op 29 april 2019 door admin Als de omtrek van een driehoek gelijk is aan 2, bewijs dan dat niet alle hoogtelijnen langer kunnen zijn dan . Antwoord Noteer de drie zijden van de driehoek door en en de hoogtelijnen door en . Er moet dus minstens 1 hoogtelijn kleiner zijn dan . De kleinste hoogtelijn staat loodrecht op de grootste zijde. Veronderstel dat de grootste zijde is dan is . De oppervlakte van de driehoek is gelijk aan , maar ook gelijk aan . Hierin is de halve omtrek en dus is . Bijgevolg is of . Gebruik nu de ongelijkheid van het meetkundig en rekenkundig gemiddelde : . Hieruit volgt dat . Ten slotte is dus .
.
.
en 
en de hoogtelijnen door 
en 
.
de grootste zijde is dan is 
.
, maar ook gelijk aan 
. Hierin is 
de halve omtrek en dus is 
.
of 
.![\sqrt[3]{(1-a)(1-b)(1-c)}\leq \frac{1}{3}(1-a+1-b+1-c)=\frac{1}{3}](https://usercontent.one/wp/www.wiskundemagie.be/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b17fe4eb9e5f4114d054e3acf4ffc34f_l3.png?media=1678572382 "Rendered by QuickLaTeX.com")
.
.
.