ongelijkheden | Wiskunde is leuk

Antwoord

Omdat a,b en c de maatgetallen voorstellen van de zijden van een driehoek, weten we dat elke zijde kleiner is dan de som van de twee andere zijden. Dus bijvoorbeeld $a<b+c$

Dan is $\frac{a}{b+c}=\frac{2a}{2(b+c)}=\frac{2a}{(b+c)+(b+c)}$ .

Door toepassing van de driehoeksongelijkheid op het eerste deel van de noemer vinden we dat

$\frac{a}{b+c}<\frac{2a}{a+b+c}$

Op analoge wijze vinden we dat $\frac{b}{c+a}<\frac{2b}{a+b+c}$ en $\frac{c}{a+b}<\frac{2c}{a+b+c}$ .

Alles samenvoegen geeft

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2$

De herschikkingsongelijkheid is tezelfdertijd een zeer eenvoudige maar ook een zeer krachtige ongelijkheid. Als $a_1\leq a_2\leq \ldots \leq a_n$ en $b_1\leq b_2\leq \ldots \leq b_n$ dan noemen we $(a_1,\ldots,a_n)$ en $(b_1,\ldots,b_n)$ gelijk geordend en $(a_1,\ldots,a_n)$ en $(b_n,\ldots,b_1)$ omgekeerd geordend.
We noemen $A=a_1b_1+\cdots +a_nb_n$ de geordende som en $B=a_1b_n+\cdots +a_nb_1$ de omgekeerde som van de gegeven getallen.
Als $(x_1,\ldots,x_n)$ een herschikking (permutatie) is van de getallen $(b_1,\ldots,b_n)$ dan noemen we $X=a_1x_1+\cdots +a_nx_n$ een gemengde som.

De herschikkingsongelijkheid zegt dan:

$A\geq X \geq B$

Voorbeeld:

Voor 3 positieve getallen $a,b,c$ geldt: $\dfrac{a+b+c}{abc}\leq \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}$

Neem de gelijk geordende drietallen $(\dfrac {1}{a},\dfrac {1}{b},\dfrac {1}{c})$ en $(\dfrac {1}{a},\dfrac {1}{b},\dfrac {1}{c})$ . Dan is $\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2} \geq \dfrac{1}{b}.\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}=\dfrac{a+b+c}{abc}$ .

Wiskunde is leuk

Tag archieven: ongelijkheden

Opgave 8

Als a,b en c de maatgetallen voorstellen van de zijden van een driehoek, dan geldt

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}<2$

Antwoord

Herschikkingsongelijkheid