Ongelijkheid met sinussen

Geplaatst op 5 november 2018 door admin

Sommige ongelijkheden kunnen zeer elegant worden opgelost door gebruik te maken van de ongelijkheid van Jensen. Voor concave functies ( bol , tweede afgeleide negatief) wordt dit :

$\frac{f(x)+f(y)+f(z)}{3} \leq f\Big( \frac{x+y+z}{3}\Big)$

In een driehoek met hoeken $\alpha,\beta$ en $\gamma$ geldt :

$\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma \leq \ \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Omdat $\alpha,\beta,\gamma$ hoeken zijn van een driehoek zijn $\alpha,\beta,\gamma$ elementen van $[0,\pi ]$ . De sinusfunctie is concaaf op dit interval, want $\sin''(x)=-\sin x \leq 0$ in $[0,\pi ]$ . Dus is, volgens Jensen: $\frac{\sin \alpha+\sin \beta +\sin \gamma}{3}\leq \sin \frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}=\sin \frac{\pi}{3} =\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Dus is $\sin \alpha+\sin \beta +\sin \gamma} \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$ .

Eenvoudige ongelijkheden

Geplaatst op 10 juli 2018 door admin

Het is voor iedereen duidelijk dat een kwadraat van een reeël getal nooit negatief kan zijn. Het uitwerken van $(a-b)^2\geq 0$ geeft ons twee eenvoudige ongelijkheden, waarmee we snel aan het werk kunnen ( veronderstel alle getallen positief):

$\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$ .
$\Big(\frac{a+b}{2}\Big)^2 \leq \frac{a^2+b^2}{2}$ .

Twee voorbeelden:

Bewijs dat $(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc$ .

Uit formule 1 vinden we $a+b \geq 2\sqrt{ab}$ , maar ook dat $a+c \geq 2\sqrt{ac}$ en $c+b \geq 2\sqrt{cb}$ , dus is $(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8\sqrt{ab}\sqrt{bc}\sqrt{ca}=8abc$ .
Bewijs, als $a+b=1$ , dan is $\Big(a+\frac{1}{a}\Big)^2+\Big(b+\frac{1}{b}\Big)^2 \geq \frac{25}{2}$ .
Uit formule 2 volgt het linkerlid groter is dan of gelijk is aan $\frac{2}{4}\Big(a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}\Big)^2=\frac{1}{2}\Big(1+\frac{a+b}{ab}\Big)^2 =\frac{1}{2}\Big(1+\frac{1}{ab}\Big)^2$ . Uit formule 1 weten we dat $a+b=1 \geq 2\sqrt{ab}$ ofwel $ab \leq \frac{1}{4}$ . Hieruit volgt dat $\frac{1}{ab} \geq 4$ .
Bijgevolg is $\Big(a+\frac{1}{a}\Big)^2+\Big(b+\frac{1}{b}\Big)^2 \geq \frac{1}{2}(1+4)^2=\frac{25}{2}$ .

Ongelijkheid van Cauchy-Schwarz

Geplaatst op 22 mei 2018 door admin

Stel $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ en $(b_1,b_2,\cdots,b_n)$ n-tallen van reële getallen, dan geldt:

$(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2\leq(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2)$

Deze ongelijkheid werd genoemd naar A.L.Cauchy( 1789-1857) en H.A.Schwarz(1843-1921) en steunt op de eigenschap dat het skalair product van twee vectoren kleiner is dan of gelijk is aan het product van de normen van die vectoren.

Bekijken we even een voorbeeld:

Bewijs: $(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{6})^2 \leq \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}+\frac{z^2}{6}$

Het is enkel de kwestie van goed de twee drietallen te kiezen.
Neem $(\frac{x}{2},\frac{y}{\sqrt{6}},\frac{z}{\sqrt{12}})$ en $(1,\sqrt{\frac{2}{3}},\sqrt{\frac{2}{6}})$ en vul in.

Opgave 16

Geplaatst op 3 april 2018 door admin

Voor 3 positieve getallen a,b en c geldt:

$\frac{9}{2(a+b+c)}\leq \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\leq \frac{1}{2}\Big(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Big)$

Antwoord

In de eerste ongelijkheid stellen we $a+b=x$ , $b+c=y$ en $a+c=z$ , dan wordt de opgave herschreven als $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$ of $(x+y+z)\Big( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\Big )\geq 9$ .
We werken de haakjes uit en vinden: $3+\Big( \frac{x}{y}+\frac{y}{x}\Big)+\Big( \frac{x}{z}+\frac{z}{x}\Big)+\Big( \frac{y}{z}+\frac{z}{y}\Big) \geq 9$ .
Uit de ongelijkheid over het rekenkundig en meetkundig gemiddelde vinden we dat $\frac{1}{2}\Big( \frac{x}{y}+\frac{y}{x}\Big) \geq \sqrtç \frac{x}{y}\frac{y}{x}=1$ , dus het linkerlid uit vorig punt is groter of gelijk aan $3+2+2+2=9$ wat moest bewezen worden.
Voor het tweede deel van de ongelijkheid gebruiken we de ongelijkheid over het harmonisch en meetkundig gemiddelde: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \geq \frac{2}{\sqrt{ab}}$ . Volgens de ongelijkheid over het rekenkundig en meetkundig gemiddelde is bovendien $\frac{2}{\sqrt{ab}} \geq \frac{4}{a+b}$ .
Pas dit nu toe op de drie termen van het linkerlid van de gevraagde ongelijkheid en het bewijs is klaar.

Ongelijkheden en gemiddelden

Geplaatst op 19 maart 2018 door admin

Neem n positieve getallen $x_1,x_2,\cdots,x_n$ . Dan definieren we:

Het rekenkundige gemiddelde: $RG = \dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$ .
Het meetkundig gemiddelde: $MG = \sqrt[n]{x_1.x_2.\cdots.x_n}$ .
Het harmonisch gemiddelde: $HG = \dfrac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}}$ .
Het r-de machtsgemiddelde: $P_r =\sqrt[r]{ \dfrac{x_1^r+x_2^r+\cdots+x_n^r}{n}}$ . Voor $r=2$ spreken we ook van het kwadratisch gemiddelde.