Tag archieven: omgeschreven cirkel

De Kepler-Bouwman constante

Geplaatst op door

Teken een cirkel met straal 1. Teken een regelmatige ( dus gelijkzijdige) driehoek, omgeschreven aan deze cirkel. Teken vervolgens de omgeschreven cirkel van die driehoek en het vierkant omgeschreven aan die cirkel. Daarna teken je weer de omgeschreven cirkel van dat vierkant en een regelmatige vijfhoek omgeschreven aan die cirkel. Ga daar oneindig mee door.

We zouden kunnen verwachten dat je zo steeds grotere cirkel gaat bekomen. En hoewel de cirkels aanvankelijk groter worden, neemt de mate van groter worden steeds af en zullen de stralen van de omgeschreven cirkels naderen tot een bepaalde limietwaarde. 

Die waarde lijkt niet zo moeilijk om uit te rekenen.

De verhouding van de stralen van de gele en groene cirkel is \cos \frac{\pi}{3}. Hieruit volgt dat de gezochte limietwaarde het omkeerde  is van

    \[\prod_{k=3}^{\infty}\cos \frac{\pi}{k}\]

De eerste die dit deden waren Edward Kasner (1878-1955)  en James Newman (1907-1966). Zij bekwamen een waarde van ongeveer 12. In 1965 gaf een Nederlandse wiskundige Christoffel Bouwkamp (1915-2003) als waarde 8,7000 aan.`

Nootje 24

Geplaatst op door

De zijden van een driehoek zijn 18,24 en 30. Vind de oppervlakte van de driehoek gevormd door het zwaartepunt en de middelpunten van om- en ingeschreven cirkel.

Antwoord

Een meetkundige parel

Geplaatst op door

Onlangs vond ik volgende stelling die ik helemaal niet kende. Een echt pareltje: De spiegelbeelden van het hoogtepunt van een driehoek ABC rond de zijden en rond de middens van de zijden liggen op de omgeschreven cirkel van ABC.

H’ is het spiegelbeeld van H (hoogtepunt) rond de zijde AB en CD is een middellijn van de omgeschreven cirkel.

  • \widehat{CDB} is een rechte hoek, als omtrekshoek op een halve cirkel. Omdat AH loodrecht op BC staat, zijn BD en AH evenwijdig.
  • Analoog is AD ook evenwijdig met BH.
  • Dus is AHBD een parallellogram. 
  • Omdat de diagonalen van een parallellogram elkaar midden doordelen is M_c het midden van AB en dus is D inderdaad het spiegelbeeld van H bij een puntspiegeling rond het midden van B.
  • Omdat HC’=C’H’ is C'M_c de middenparallel van driehoek HH’D en staat DH’ loodrecht op CC’ omdat DH’ evenwijdig is met C'M_c.
  • Dus is \widehat{CH'D}=90^\circ  en wegens de eigenschappen van omtrekshoeken ligt dus H’ op de omgeschreven cirkel van driehoek ABC.

De ongelijkheid van Euler

Geplaatst op door

Eén van de oudste ongelijkheden in een driehoek is de ongelijkheid van Euler die een verband geeft tussen de stralen van de omgeschreven en ingeschreven cirkel.

Als O het middelpunt is van de omgeschreven cirkel ( met straal R) van driehoek ABC en I het middelpunt van de ingeschreven cirkel (met straal r), noteer dan d=|OI|. Dan geldt er:

    \[d^2=R^2-2Rr\]

Hieruit volgt dan dat

    \[R\geq 2r\]

Het gelijkheidsteken geldt enkel als de driehoek gelijkzijdig is.