F(x) is een veelterm met gehele coëfficiënten en waarvan de coëfficiënt van de hoogste graads term 1 is. Bovendien neemt f(x) de waarde 5 aan voor 4 verschillende gehele getallen. Bewijs dat f(x) nooit de waarde 8 kan aannemen.
Antwoord
Neem g(x) = f(x) – 5. Dan heeft g(x) 4 verschillende nulwaarden: a,b,c en d.
We kunnen dus schrijven dat g(x) = (x – a)(x – b)(x – c)(x – d)h(x) ofwel f(x) = (x – a)(x – b)(x – c)(x – d)h(x) + 5. Hierbij is h(x) een veelterm met gehele coëfficiënten.
Veronderstel dat er toch een y zou bestaan zodat f(y) = 8, dan zou
(y – a)(y – b)(y – c)(y – d)h(y) = 3.
De 5 factoren in het linkerlid zijn allen gehele getallen, waarvan de 4 eerste zeker al verschillend zijn. Omdat 3 = 1.3 of 3= (-1). (-3) kan je nooit 4 verschillende factoren hebben.
De waarde 8 kan dus nooit bereikt worden door f(x).
